Machten en veeltermen - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Machten en veeltermen

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Machten

ap . aq
ap / aq
(a.b)p
(a/b)p
vb. 23.24 = 27
vb. 26/24 = 22
vb. (23)4 = 212
vb. (2.3)4 = 24.34
vb. (2/3)4 = 24/34
vb. 20 = 1
vb. 2-2 = 1/22 = 1/4

Wortels

√a = b b2 = a en b >= 0
vb. √9 = 3
√(a.b) = √a.√b
vb. √18 = √9.√2 = 3√2
√(a/b) = √a/√b
vb. √(x/9) = √x/√9 = √x / 3
√(an) = (√a)n
vb. √(43) = (√4)3 = 23 = 8
n√a = b bn = a
vb. 3√27 = 3
OPGELET: √(a+b) is niet gelijk aan √a + √b
n√a = a1/n
vb. √a = a1/2

Opmerking

Opmerking: de wortel van een getal is dus altijd een positieve waarde
vb. √9 = 3, hoewel (-3)2 ook = 9
Dus √(-3)2 = √9 = 3
Men zegt daarom:
√(x2) = |x|
|x| is de absolute waarde van x, de waarde van x zonder het teken dat ervoor staat
Dus |3| = 3 en |-3| = 3
Dit betekent: voor x > 0 : |x| = x en voor x < 0 : |x| = -x

Voorbeelden

5√54 + √24
= 5√(9.6) + √(4.6)
= 5√9√6 + √4.√6
= 5.3.√6 + 2√6
= 15√6 + 2√6
= 17√6
√24/√3
= √(24/3)
= √8
= √(4.2)
= √4.√2
= 2√2
Vereenvoudigen van een wortel is het getal onder de wortel zo klein mogelijk houden door kwadraten “van onder de wortel te brengen”.
Bvb. √8 = √(4.2) = √4.√2 = 2√2

Noemer breuk wortelvrij maken

(√2)2
7 - √3
7 - √3
7 + √3
7 + √3
72 – (√3)2
4(7 + √3)
49 – 3
28 + 4√3
28 + 4√3
14 + 2√3
(a-b)(a+b) = a2 – b2

Veeltermen

a0, a1, ... coëfficiënten
n = graad in x
Een veelterm in x:
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Merkwaardige producten

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a 3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a 3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Euclidische deling

x3 + 2x2 + x - 4
x2 - 2
-x3 + 2x
+ 2x2 + 3x - 4
- 2x2 + 4
(quotiënt)
(rest)
Dus: x3 + 2x2 + x – 4 = (x2 - 2) (x + 2) + 3x

Schema van Horner

= deling van een veelterm door x – a of x + a.
Bvb. 3x3 - 5x2 + 10x - 5 delen door x - 2:
Opgelet! Bij deling door x-2 doet men steeds maal 2 in het schema. Bij deling door x + 2 doet men steeds maal -2! (zie hierna voor een voorbeeld).
Quotiënt = 3x2 + x + 12
Rest = 19

Wortel van een veelterm

De wortels van een veelterm in x = zijn de getalwaarden voor x waarvoor de getalwaarde van de veelterm = 0
Bijvoorbeeld: voor x3 + 2x2 - 9x - 18 zijn de wortels {-2, 3 en -3}
Bvb. 33 + 2.32 – 9.3 - 18 = 0
Als a een wortel is van een veelterm in x, dan is die veelterm deelbaar door x – a (dus de rest is 0 bedoelt men)
Bvb. (x3 + 2x2 - 9x - 18) / (x+2) = x2 – 9
Dit quotiënt berekent men bvb. met het Schema van Horner:

Ontbinden in factoren

Men kan de regel van Horner gebruiken om een veelterm te ontbinden in factoren
Men zoekt eerst alle delers van de laatste term op en test of de getalwaarde ervoor gelijk is aan 0, bijvoorbeeld:
Voor x3 + 2x2 - 9x - 18 zijn de delers {1,-1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18}
Men gaat ze dan één voor één testen:
Veeltermwaarde V(1) = 1 + 2 – 9 – 18 is niet 0
V(-1) = -1 + 2 + 9 – 18 = -8 is niet 0
V(2) = 8 + 8 - 9 – 18 = -11 is niet 0
V(-2) = -8 + 8 + 18 – 1=0. Dus de veelterm is deelbaar door x+2
We doen het Hornerschema (zie vorige pagina) en vinden x2-9 als quotiënt
Deze x2-9 kunnen we dan nog verder ontbinden (merkwaardige producten): x2-9 = (x+3)(x-3)
Dus x3 + 2x2 - 9x - 18 = (x + 2)(x + 3)(x – 3)

Sirtaqi