Matrices - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Matrices

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Matrices

Een matrix is een tweedimensionaal schema van getallen. Een matrix bestaat uit m rijen en n kolommen.
Een matrix met evenveel rijen als kolommen noemt men een vierkante matrix.
Het aantal rijen van een matrix noemt men de orde van een matrix.

Optellen en aftrekken

Optellen en aftrekken van matrices gebeurt door de overeenkomstige rijen en getallen op te tellen of af te trekken.
Het spreekt vanzelf dat dit enkel opgaat bij gelijksoortige matrices, dus met een gelijk aantal rijen en kolommen.

Vermenigvuldiging met een getal

Om matrices met een getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men elk element van de matrix met dat getal.

Vermenigvuldigen van matrices

Bij de vermenigvuldiging van matrix A met mA rijen en nA kolommen en een matrix B met mB rijen en nB kolommen, krijgt men een matrix met mA rijen en nB kolommen.
Het gebeurt dan als volgt: het element op de eerste rij en de eerste kolom van het resultaat is de som van de vermenigvuldigingen van de elementen van de eerste rij van de eerste matrix met de elementen van de eerste kolom van de eerste matrix. Voor het tweede element van de eerste rij neemt men de eerste rij van de eerste matrix en de tweede kolom van de tweede matrix enzovoort. Een voorbeeld verduidelijkt dit:
Men kan enkel matrices vermenigvuldigen waarbij het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix.
Hier is
2340 = 2.1000 + 3.100 + 4.10.

Opmerking

De vermenigvuldiging van matrices is niet communicatief, dus meestal zal A x B verschillend zijn van B x A.
Ook is het mogelijk dat A ≠ 0 en B ≠ 0 en dat toch A x B = 0.
Bijvoorbeeld:

Eenheidsmatrix

De eenheidsmatrix is een vierkante matrix waarvan elk element gelijk is aan 0, behalve de elementen op de hoofddiagonaal.

Omgekeerde van een matrix

De omgekeerde of inverse matrix komt enkel voor bij vierkante matrices.
Dan moet A x A-1 = I = A-1 x A
Bijvoorbeeld voor een 2 x 2 matrix:
Om de inverse matrix te berekenen, lost men de stelsels op die men verkrijgt door uitwerken van de vermenigvuldiging.
Een 2x2 matrix heeft enkel een inverse matrix als ad – bc ≠ 0
Een matrix die een inverse matrix heeft noemt men een reguliere matrix, in het andere geval spreekt men van een singuliere matrix.

Oplossen van stelsels

Men kan matrices gebruiken voor het oplossen van grotere stelsels vergelijkingen.
Men stelt dan alle coëfficiënten als een matrix voor.
Door rijen te vermenigvuldigen met bepaalde getallen en bij elkaar op te tellen en af te trekken, zoals men dat ook bij de normale uitwerking van en stelsel doet, komt men dan tot een matrix waarbij men, de laatste kolom uitgezonderd, enkel getallen krijgt op de plaats van elk der variabelen afzonderlijk.
Een voorbeeld op de volgende dia verduidelijkt dit.

Oplossen van stelsels

Bijvoorbeeld het stelsel 3x + 2y = 4 en x – y = 1
En nu kunnen we x eenvoudig aflezen: 5x = 6, dus x = 6/5 en -5y = -1, dus y = 1/5
Het spreekt vanzelf dat dit vooral handig is bij grote stelsels.

Determinanten

De determinant van een matrix noteert men als det A of | A |.
Om te laten zien hoe deze berekend wordt, beginnen we met de determinant van een 2x2 matrix:
Dan voor een 3x3 matrix:
Men neemt dus de eerste rij en telkens vermenigvuldigt met elk getal ervan met de determinant van de overblijvende getallen als men de rij en kolom van dat element schrapt. Men wisselt wel het teken steeds af.

Sirtaqi