Driehoeksmeetkunde - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Driehoeksmeetkunde

Driehoeksmeetkunde

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Stelling van Pythagoras

De Stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde.
a2 + b2 = c2

Goniometrische getallen

sin a = a/c
cos a = b/c
tan a = a/b = sin a / cos a
sinus a = overstaande zijde/schuine zijde (SOS)
cosinus a = aanliggende zijde/schuine zijde
tangens a = overstaande zijde / aanliggende zijde
cotangens cotan a = cos a / sin a = 1 / tan a

Cosinusregel

De cosinusregel in een willekeurige driehoek:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Sinusregel

De sinusregel in een willekeurige driehoek:

Stelling van Thales

Stelling van Thales: een bundel evenwijdige rechten snijdt van alle snijlijnen evenredige stukken af.
AB/AC = A'B'/A'C'
AD/AB = AE/AC
AD/AB = AE/AC

Gelijkvormige driehoeken

Gelijkvormige driehoeken hebben gelijke hoeken.
De ene driehoek is als het ware een vergrote of verkleinde vorm van de andere.
ADE is in beide gevallen gelijkvormig aan ABC (3 hoeken gelijk)
De verhoudingen van overeenkomstige zijden in gelijkvormige driehoeken zijn (volgend uit Thales) gelijk.

Voorbeeld

Bijvoorbeeld: in onderstaande figuur is ABP gelijkvormig met DQP en dus is AB/AP = QD/DP
Dus is 4/(8+DP) = 1,4/DP
4 DP = 1,4(8+DP) 2,6 DP = 11,2 DP = 11,2/2,6 = 4,3

Hoogte van een piramide

Volgens een legende berekende Thales de hoogte (D) van de piramide van Cheops door de schaduw (B) van een stok (A) van gekende lengte te vergelijken met de schaduw van de piramide (C):
Hier is D/C = A/B, en dus is D = C.A/B, waarbij C, A en B te meten zijn en dus D te berekenen is.

Opmerking

Het kon nog eenvoudiger en Thales zou het mogelijk zelf van de Egyptenaren kunnen geleerd hebben: men kon de hoogte van een voorwerp, dus ook een piramide, berekenen door de schaduw ervan te meten op het moment dat de schaduw van een man even lang was als de man zelf.
Dan is de hoogte van het voorwerp ook even lang als zijn gemeten schaduw en moet er dus niets uitgerekend worden.

Zwaartelijn

Een zwaartelijn in een driehoek gaat door één van de hoekpunten en snijdt de tegenoverliggende zijde middendoor.
Een eigenschap van de drie zwaartelijnen in een driehoek is dat de ze door hetzelfde punt gaan.
Dit snijpunt noemen we het zwaartepunt van de driehoek.
Het zwaartepunt deelt elke zwaartelijn in twee delen met een verhouding (2:1).