Afgeleiden - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Afgeleiden

Afgeleiden

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Inleiding

We herinneren ons:
de richtingscoëfficiënt van een rechte is m = Dy/Dx.
Beschouw volgende figuur:
f(x0 + h) – f(x0)

Richtingscoëfficiënt van de raaklijn

Als we nu h steeds kleiner laten worden, dus de limiet voor h gaande naar 0 nemen, dan gaat de groene curve steeds meer naar de raaklijn (blauw) in het punt (x0, y0).
Voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn geldt dus:
Als we h steeds kleiner nemen (dus naar 0 gaat), wordt de groene rechte steeds meer de raaklijn.
m = lim
f(x0 + h) – f(x0)
h -> 0

Afgeleide

De afgeleide van een functie f(x):
Ook genoteerd als D f(x) of
De afgeleide van een functie is dus ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt (x, f(x)).
f’(x) = lim
f(x + h) – f(x)
h -> 0
d f(x)
(Leibnitz notatie)

Voorbeeld

Voor f(x) = x2:
f’(x) =
h -> 0
f(x + h) – f(x)
h -> 0
(x + h)2 – x2
h -> 0
x2 + 2xh + h2 – x2
h -> 0
2xh + h2
h -> 0
2x + h = 2x

Voorbeeld

Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve f(x) = x2 in het punt (1,1)?
Wel, hier is f’(x) = 2x. Dus in het punt met x = 1 geeft dit als richtingscoëfficiënt m = 2.
y = x2
De vergelijking van de raaklijn in (1,1) is dus:
y-1 = 2(x – 1)
y = 2x -1

Opmerking

Die “d” in de Leibnitz-notatie staat voor differential en slaat op een oneindig (infinitesimaal) kleine verandering.
Eigenlijk is df(x) / dx hetzelfde als Df(x) / Dx, maar dan voor een oneindig kleine Dx.
Df(x)
Dx -> 0
df(x)
Dus, waar we in de fysica voor gemiddelde snelheid vm = Ds/Dt schrijven, is de ogenblikkelijke snelheid: v = ds/dt.
Differentiaalrekening werd in het einde van de 17e eeuw zowat gelijktijdig door Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibnitz ontwikkeld.

Afleidbaarheid

Niet elke functie is afleidbaar in elk punt van de curve.
Bijvoorbeeld:
Deze functie is niet continu: voor de x-waarde waar ze de sprong maakt, is de afgeleide niet bestaande.
De functie is wel continu, maar de raaklijn is anders in het punt x = 0 gezien van de linkerkant dan van de rechterkant. De functie is dus niet afleidbaar in het punt x = 0.

Stijgend en dalend

Als de afgeleide in een punt van de curve groter is dan 0, is de curve daar stijgend.
Als de afgeleide in een punt van de curve kleiner is dan 0, is de curve daar dalend.
Als de afgeleide in een punt van de curve gelijk is aan 0, is de curve daar constant.
f’(x) > 0
f’(x) < 0
f’(x) = 0
stijgend
dalend
constant

Maxima en minima van een functie

Maxima en minima van een functie (extrema) zijn punten van de functie waar de afgeleide = 0 én waar de afgeleide van + naar – gaat of omgekeerd.
maximum
minimum
minimum
maximum
maximum

Opmerking

Dus dit is geen maximum of minimum, hoewel de afgeleide toch 0 is het punt in kwestie:

Opmerking 2

Het hoogste maximum noemt men ook het globale maximum.
Het laagste minimum noemt men ook het globale minimum.
De andere minima en maxima noemt men dan lokaal.
globaal maximum
globaal minimum
lokaal minimum
lokaal maximum
lokaal maximum

Enkele basisafgeleiden

f(x) = xn
=> f’(x) = n.xn-1
Vb. D(x5) = 5.x4
f(x) = ax
=> f’(x) = ax.ln(a)
Vb. D(3x) = 3x . ln(3)
f(x) = ex
=> f’(x) = ex
f(x) = ln(x)
=> f’(x) = 1/x
f(x) = loga(x)
=> f’(x) = 1/(x.ln(a))
Vb. D(log7x) = 1/(7.ln(7))
f(x) = sin(x)
=> f’(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)
=> f’(x) = -sin(x)
f(x) = tan(x)
=> f’(x) = 1/cos2(x) = 1 + tan2(x)
Opmerking: √x = x1/2 dus D(√x) = (1/2) . x-1/2 = 1/(2√x).

Som- en verschilregel

Een voorbeeld:
D[f(x) + g(x)] = f’(x) + g’(x)
D[f(x) - g(x)] = f’(x) - g’(x)
f(x) = x3 + 6x
D(f(x)) = D(x3) + D(6x) = 3x2 + 6

Productregel

Een voorbeeld:
D[f(x) . g(x)] = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)
f(x) = x3 . ln(x)
D(f(x)) = D(x3) . ln(x) + x3 . D[ln (x)]
= 3x2 . ln(x) + x3 . 1/x = 3x2 . ln(x) + x2

Quotiëntregel

Een voorbeeld:
f’(x) . g(x) - f(x) . g’(x)
D[f(x) / g(x)] =
[g(x)]2
f(x) = (x + 2) / (2x + 1)
D(x+2) . (2x + 1) – (x + 2) .D(2x + 1)
D(f(x)) =
(2x + 1)2
1 . (2x + 1) – (x + 2) .2
(2x + 1)2
(2x + 1)2
Opmerking: men kan een deling ook beschouwen als een product: bvb. (x+2)/(2x+1) = (x+2).(2x+1)-1 en dan de regel voor het product toepassen.

Kettingregel

Dit ziet er vrij complex uit, maar in Leibnitznotatie is misschien duidelijker wat dit inhoudt:
Nog niet duidelijk? Hier een voorbeeld:
D[f(g(x))] = f’(g(x)) . g’(x)
f(x) = cos (2x)
We kennen de afgeleide van cos x, dat is –sin x. We doen dit nu ook gewoon met die 2x, dus –sin(2x) maar moeten dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van die 2x, en dat is 2:
f’(x) = -sin (2x) . D(2x) = - 2 sin (2x)

Nog enkele voorbeelden

D((3x – 1)2) = 2.(3x – 1) . D(3x – 1) = 2.(3x – 1).3 = 18x - 6
D(sin √x) = cos(√x) . D(√x) = cos(√x) . D(x1/2) = cos(√x) . -1/2 . x-1/2
= - cos(√x) / 2√x

Tweede afgeleide

f”(a) = tweede of dubbele afgeleide van f in a.
Men neemt de eerste afgeleide en leidt dan nogmaals af.
Bvb. stel f(x) = x3 + 2x + 1
Dan: f’(x) = 3x2 + 2
En: f”(x) = 6x
In Leibnitz-notatie schrijft men:
d2(f(x))

Hol en bol

Als f"(x) > 0 voor alle punten in interval => f is hol in het interval (=> f'(x) stijgt).
Als f"(x) < 0 voor alle punten in interval => f is bol in het interval (=> f'(x) daalt).
(f”(x) > 0)
(f”(x) < 0)
Buigpunt

Buigpunten

Als f”(a) = 0: buigpunt.
Opgelet: enkel als f” van + naar - gaat of van - naar +!
niet als van - naar - of + naar +!
vb. f(x) = x4: f”(x) = 12x2. f"(0) = 0 maar functie zowel hol links als rechts van 0 => geen buigpunt.
buigpunt
f”(a) = 0
f”(a) < 0
f”(a) > 0

Opmerking

Sommige functies zijn niet afleidbaar in een punt, maar hebben wel een verticale raaklijn.
Ook hier kan dan een buigpunt optreden, als f” van + naar - gaat of van - naar +.
Voorbeeld: f(x) = (2-x)1/3.
Deze functie is niet afleidbaar voor x = 2, maar heeft wel een verticale raaklijn voor x = 2.
f’(x) = 1/3.(2-x)-2/3.(-1) = -1/3.(2-x)-2/3
f’’(x) = 2/9.(2-x)-5/3.(-1) = -2/9.(2-x)-5/3
Links van x = 2, vb. voor x = 1: f”(1) = -2/9 < 0 => bol
Rechts van x = 2, vb. voor x = 3: f”(3) = 2/9 > 0 => hol
De functie is bol links van x = 2 en hol rechts van x = 2, dus is er een buigpunt in het punt (2, 0).

Schetsen van een grafiek

Domein bepalen.
Nulpunten aanduiden.
Duid functiewaarde aan in punten waar f eventueel niet continu evenals eindpunten waarop f gedefinieerd.
Horizontale, schuine en verticale asymptoten zoeken en tekenen.
Onderzoek f'(x) waar stijgt, daalt, bepaal maxima en minima.
Onderzoek of verticale raaklijn aanwezig: kunnen optreden waar domein f niet afleidbaar.
Onderzoek teken van f"(x) -> hol/bol, bepaal buigpunten.
Probeer een schets te maken.

Voorbeeld

f(x) = x3 – 3x + 2. Domein is R.
Nulpunten x = -2 en x = 1 (zie “Veeltermen”).
(asymptoten zoeken…er zijn er geen).
f’(x) = 3x2 – 3 (nulpunten x = -1 en x = 1) en f”(x) = 6x (nulpunt x = 0).
f’(x)
f”(x)
max (4)
min (0)

Voorbeeld

En, dit allemaal wetende, tenslotte een schets van de grafiek:

Regel van de l’Hôpital

Voor berekening limieten:
In de gevallen:
x -> a
x -> a
geldt:
x -> a
x -> a
f’(x)
g’(x)
Dus krijgen we bij limietberekening 0 / 0 of ∞/∞, dan leiden we teller en noemer af.

Voorbeelden

Vorm 0/0:
Vorm oneindig/oneindig:
x -> 2
x3 – 4x2 + 8
x2 - 4
x -> 2
3x2 – 8x
x -> 2
3x – 8
= (3.2 – 8)/2 = -1
x -> ∞
5x2 – 4x + 8
x2 - 4
(∞ / ∞)
x -> ∞
10x – 4
x -> ∞
(∞ / ∞)
Nog steeds ∞ / ∞, dus leiden we nog eens af.
Opmerking: we weten reeds van hiervoor dat dan enkel de hoogste machten tellen en dat de limiet dus 5/1 = 5 was.