Vergelijkingen - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Vergelijkingen

Vergelijkingen

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Eerstegraadsvergelijkingen

Waarbij a niet gelijk is aan 0.
Oplossing: x = -b/a.
Bijvoorbeeld: 5x + 3 = 0 5x = -3 x = -3/5.
Opmerking: de oplossingenverzameling stelt men voor als V.
Men schrijft dan: V = { -3/5 }.
ax + b = 0

Evenredigheid

x is evenredig met y als:
x = k.y
Dus als x twee keer groter wordt, wordt y ook twee keer groter.
x2/x1 = y2/y1
Men kan het ook zo schrijven: als x gaat van een toestand x1 naar x2, dan gaat y van een toestand y1 naar y2 volgens:
Als men x en y in een grafiek uitzet, krijgt men een rechte door de oorsprong.

Omgekeerde evenredigheid

x is omgekeerd evenredig met y als:
x.y = k ofwel x = k . 1/y
Dus als x twee keer groter wordt, wordt y twee keer kleiner.
x1.y1 = x2.y2 of x2/x1 = y1/y2
Men kan het ook zo schrijven: als x gaat van een toestand x1 naar x2, dan gaat y van een toestand y1 naar y2 volgens:
Als men x en y in een grafiek uitzet, krijgt men een figuur als hiernaast.

Tweedegraadsvergelijkingen

Waarbij a niet gelijk is aan 0.
Oplossing:
Als b2 - 4ac > 0:
Als b2 - 4ac = 0: één oplossing: x = -b/(2a).
Als b2 - 4ac < 0: geen oplossingen.
b2 - 4ac noemt men de discriminant D van de vergelijking.
ax2 + bx + c = 0
-b +
b2 – 4ac
-b -
b2 – 4ac
Dit zijn de wortels van de vergelijking.

Voorbeeld

Los op in R:
x2 + 4x - 5 = 0
Oplossing:
D = b2 – 4ac = 16 – 4.1.(-5) = 36
Dus x = (-4 + √36) / 2 of x = (-4 - √36) / 2
x = 1 of x = -5
V = {1, -5}

“Som- en productformule”

Een vierkantsvergelijking kan ook zo geschreven worden:
a(x2 - Sx + P) = 0
Waarbij S de som is van de wortels en P het product.
Bijvoorbeeld:
x2 + 3x + 2 = 0
Hier is S = -3 = -2 + (-1)
Hier is P = 2 = -2 . (-1)
V = {-2, -1}

Vergelijkingen met wortels

Hier moeten we eerst de wortelvorm isoleren:
-√(x + 8) = 2x  - 14 - 6 √(x + 8) = 20 - 2x
Dan kwadrateren we beide kanten:
x + 8 = (20 - 2x)2 = 400 – 80x + 4x2
4x2 – 8x + 400 – x - 8 = 0 4x2 – 81x + 392 = 0
Oplossen van de kwadraatsvergelijking:
D = √(812 – 4.392.4) = √289 = 17. Dan krijgen we:
x = (81 +/- 17) / 8, dus x = 98/8 = 49/4 of x = 64/8 = 8
Maar nu volgt nog een stap: controleren of de oorspronkelijke vergelijking wel klopt voor deze waarden: voor x = 8 klopt de vergelijking (ga dit na), maar voor x = 49/4 klopt de vergelijking niet (ga dit na). x = 49/4 is een valse wortel! Dus V = { 8 }.
6 - √(x + 8) = 2x  - 14

Stelsels van vergelijkingen

Substitutiemethode: voorbeeld:
5x – 3y – 5 = 0
x – y + 1 = 0
5(y – 1) – 3y – 5 = 0
x = y – 1
5y – 5 – 3y – 5 = 0
x = y – 1
2y = 10
x = y – 1
V = {(4,5)}
We drukken x in functie van y uit (onderste vergelijking) en substitueren x in de vergelijking erboven.

Stelsels van vergelijkingen

Combinatiemethode: voorbeeld :
5x – 3y – 5 = 0
x – y + 1 = 0
0x + 2y -10 = 0
x – y + 1 = 0
x – y + 1 = 0
x – 5 + 1 = 0
V = {(4,5)}
We vermenigvuldigen de bovenstaande vergelijking met 1, vermenigvuldigen de onderstaande vergelijking met 5 en trekken deze van de bovenstaande af.
De onderstaande vergelijking laten we zoals ze is.

Ongelijkheden

Lost men op als een vergelijking: bvb.:
3x + 7 >= 5 – 2x
3x + 2x >= 5 - 7
5x >= -2
x >= -2/5
V = [-2/5, +∞[
Opmerking: [ betekent dat -2/5 nog bij in de oplossing zit (intervalkant gesloten). Indien dit niet het geval was (bvb. x > -2/5), maakte men de intervalkant open, bvb. ]-2/5, +∞[.

Nog een voorbeeld

x2 - 3 <= -2x
x2 + 2x – 3 <= 0
Men bepaalt eerst de wortels van de vergelijking alsof deze een gewone vierkantsvergelijking was met de discriminantmethode en komt tot x = -3 en x = 1.
Dan bepaalt men het tekenschema:
x2 + 2x - 3
We zien dat de vergelijking <= 0 is in het interval [-3,1].
Dus V = [-3,1]

Ongelijkheden

Als men links en rechts een getal optelt, blijft het teken behouden
Als men links en rechts met een positief getal vermenigvuldigt of deelt, blijft het teken behouden.
Maar opgelet! Als men links en rechts vermenigvuldigt of deelt met een negatief getal, keert de richting van de ongelijkheid om!
Bijvoorbeeld:
-3x > 12 x < -4
En ook: als men de omgekeerde neemt aan beide zijden, draait de ongelijkheid om, bijvoorbeeld:
a > b 1/a < 1/b