Kansrekening - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Kansrekening

Kansrekening

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Productregel

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,5,7,8?
We tekenen een boom.
We zien dat er voor het eerste cijfer 4 mogelijkheden zijn, voor het tweede cijfer 3.
Het totaal aantal mogelijkheden is 4 x 3 = 12.
Eerste cijfer
Getal : 87
Tweede cijfer

Nog een voorbeeld

Onderstaande figuur toont 4 plaatsen met hun verbindingswegen:
Er zijn hier 3 . 4 . 5 = 60 mogelijke reiswegen van a naar d.

Somregel

Onderstaande figuur toont 4 plaatsen met hun verbindingswegen:
Hoeveel manieren zijn er om van a naar c te gaan?
Wel via b: dan zegt de productregel: 3 . 4 = 12 mogelijkheden.
Via d: dan zegt de productregel: 5 . 3 = 15 mogelijkheden.
Beide tellen we dan op om het totale aantal mogelijkheden te kennen: 12 + 15 = 27.

Somregel

We hebben een set van 52 speelkaarten. Hoeveel zijn er harten of koning?
vb. set van 52 kaarten, hoeveel harten of koning?
Aantal harten: 13
Aantal koning: 4
Aantal harten en koning:1
Aantal harten of koning = 13+4-1 = 16
Opmerking: elkaar uitsluitende gebeurtenissen : #(G1 ∩ G2) = 0.
Dit was het geval in voorgaan voorbeeld: er is geen weg die én via d én via b loopt.
#(G1 ∪ G2) = #(G1) + #( G2) - #(G1 ∩ G2)

Geordende keuze met herhaling

Hoeveel verschillende pincodes van 4 cijfers zijn er?
Voor het eerste cijfer zijn er 10 mogelijkheden.
Voor het tweede cijfer zijn er 10 mogelijkheden.
Voor het derde cijfer zijn er 10 mogelijkheden.
Voor het vierde cijfer zijn er 10 mogelijkheden.
In totaal zijn er dan 10.10.10.10 = 104 mogelijkheden.
Dus bij k elementen kiezen uit n elementen met herhaling is het aantal mogelijkheden nk.
Men noemt dit herhalingsvariaties.

Geordende keuze zonder herhaling

Hoeveel verschillende pincodes van 4 verschillende cijfers zijn er?
Voor het eerste cijfer zijn er 10 mogelijkheden.
Voor het tweede cijfer zijn er 9 mogelijkheden.
Voor het derde cijfer zijn er 8 mogelijkheden.
Voor het vierde cijfer zijn er 7 mogelijkheden.
In totaal zijn er dan 10.9.8.7 mogelijkheden.
Dus bij k elementen kiezen uit n elementen met herhaling is het aantal mogelijkheden:
Men noemt dit variaties.
V(n,k) = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) = n! / (n-k)!

Permutaties

Dit is een speciaal geval, waarbij n = k en aangezien 0! = 1 is het aantal mogelijkheden hier n!
Bijvoorbeeld: op hoeveel verschillende manieren kunnen 5 personen plaatsnemen in een auto met 5 zitplaatsen?
Het aantal mogelijkheden is hier dus 5! = 120.
Pn = n!

Ongeordende keuze zonder herhaling

Men noemt dit combinaties (bvb. “combinaties van 5 in groepen van 3”).
Op hoeveel manieren kan je 3 boeken kiezen uit 4 verschillende boeken a,b,c,d?
De volgorde is dus niet van belang hier. Ongeordend zouden er 4 x 3 x 2 = 24 mogelijkheden zijn (variaties) . Maar hierin zitten 3! Permutaties. 24/3! = 24/6 = 4 mogelijkheden wanneer ongeordend.
Mogelijkheden zijn hier abc, abd, bcd, acd.
Dit noemt men combinaties. Men berekent ze als volgt:
C(n,k) =
V(n,k)
k! (n-k)!

Lotto

Het aantal mogelijke uitslagen met de lotto, bijvoorbeeld bij 6 ballen uit de 42 is ook een combinatie (de volgorde van trekking speelt geen rol).
Het aantal combinaties is dus:
42! / (6!.36!) = 5245768

Ongeordende keuze met herhaling

Dus in ons voorbeeld: (26-1+3)! / (3!25!) = 3276.
Stel dat we 26 letters op tafel hebben liggen, van A-Z. Hoeveel combinaties kunnen we maken van 3 letters, zonder teruglegging (en ongeordend, dus ABC en BAC zijn hetzelfde)?
Dat zijn combinaties: C(26,3).
Maar stel dat we de letter terugleggen zodat we voor de volgende keer opnieuw die letter kunnen kiezen, zodat de 3 letters bvb. AAB zijn?
Dan spreken we van herhalingscombinaties.
Deze worden als volgt berekend:
C(n-1+k,k) =
(n-1+k)!
k! (n-1)!

Kans

De kans op een bepaalde gebeurtenis A: 0 <= P(A) <= 1.
Bijvoorbeeld: de kans om met een dobbelsteen een 4 te gooien is 1/6. De kans om met een dobbelsteen een even getal te gooien is 3/6 = ½.
P(succes) =
aantal gunstige uitkomsten
aantal mogelijke uitkomsten

Productregel

Bijvoorbeeld, wat is de kans om tweemaal achter mekaar een 5 te gooien met een dobbelsteen?
We stellen een zogenaamde kansboom op:
Niet 5
Niet 5
Niet 5
De kans op tweemaal 5 is 1/6 . 1/6 = 1/36

Somregel

Bijvoorbeeld, wat is de kans om een 4 en een 5 te gooien met een dobbelsteen (in eender welke volgorde)?
Een zogenaamde kansboom:
Niet 5
Niet 4
Goede route: 1/6 . 1/6 = 1/36
Goede route: 1/6 . 1/6 = 1/36
Totale kans = 1/36 + 1/36 = 1/18

Somregel

Wat is de kans dat met uit een boek kaarten een boer of een zwarte kaart trekt?
Hierbij wordt dan de zwarte boeren dubbel geteld. Daarom geldt hier de volgende formule:
P (A of B) = P (A) + P (B) – P (A en B)
Of anders genoteerd: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
En dus:
P (boer of zwart) = P (boer) + P (zwart) – P (boer en zwart)
P (boer of zwart) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52.
Indien A en B niet samen voorkomen (elkaar uitsluitende gebeurtenissen), dan rest uiteraard enkel de som van de kansen van A en B.

Voorwaardelijke kans

Je trekt uit een kaartspel twee kaarten. Wat is de kans dat je twee azen trekt?
Wel, de kans dat de eerste een aas is, is 1/13
Maar nu zijn er nog maar 51 kaarten, dus de kans op de tweede aas is 3/51.
De totale kans is dan: 1/13 x 3/51.
Men noteert dit als A|B: A onder voorwaarde van B.
P(2 azen) = P(aas) · P(aas|eerste keer aas).
P(A ∩ B) = P (A|B) . P(B)

Stoelenprobleem

4 vrouwen en 2 mannen gaan willekeurig op zes stoelen zitten die naast mekaar staan. Wat is de kans dat de mannen naast mekaar zitten?
Het totale aantal mogelijke manieren om 6 mensen op 6 plaatsen te zetten is, weten we: 6! (=720)
Nu, wat zijn de juiste combinaties?
MMVVVV VMMVVV VVMMVV VVVMMV VVVVMM
Dus 5 juiste combinaties, MAAR de mannen kunnen onderling nog van plaats verwisselen, dus .2! (dus maal 2) En de vrouwen ook, dus .4! ( dus maal 24)
Dus het aantal juiste mogelijkheden is 5.2!.4!
De kans op zo’n juiste combinatie is dus 5. 2!.4! / 6! = 5. 2/(5.6) = 10/30 = 1/3.