Analytische meetkunde II - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Analytische meetkunde II

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Vergelijking van een cirkel

De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is:
waarbij (x0,y0) het middelpunt is en r de straal.
(x– x0)2 + (y – y0)2 = r2
(x0, y0)
Men kan dit ook in de algemene vorm schrijven:
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Opgelet: niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor.
Als a2 + b2 - c > 0 dan is dit een cirkel.
Het middelpunt is (-a,-b).
De straal r = √(a2 + b2 - c).

Omzetting

Men kan de algemene vergelijking omzetten naar standaardvorm door als middelpunt (-a, -b) en als straal r2 = a2 + b2 – c te nemen.
Maar het kan ook zo (“kwadraat afsplitsen”):
x2 + y2 - 4x + 10y + 13 = 0
x2 - 4x + ___ + y2 + 10y + ___ = -13
x2 - 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = -13 + 4 + 25
(x-2)2 + (y + 5)2 = 16
We voegen dus termen toe zodanig dat we een kwadraat in (x +/- a) krijgen en een kwadraat in (y +/- a).
Vergeet niet de termen ook rechts toe te voegen!

Snijpunten van rechte en cirkel

Ook hier is dit het oplossen van het stelsel met de twee vergelijkingen.
Bijvoorbeeld:
Substitutie van y = x in de tweede vergelijking leidt tot 2x2 - 4x = 0.
Geeft oplossing x = 0 of x = 2.
Dit geeft als oplossingen (0, 0) en (2, 2).
x – y = 0
x2 + y2 – 4x =0

Parabool

Ter herinnering brengen we nog eens de vergelijking van een parabool ter sprake (al eerder in “Functies” besproken):
Een parabool met algemene vergelijking y = ax2 + bx + c
Als a > 0 is de opening naar boven gericht, zoals in de figuur
x van de top is –b/(2a).
Een parabool met algemene vergelijking x = ay2 + by + c
Als a > 0 is de opening naar rechts gericht, zoals in de figuur
y van de top is –b/(2a).

Snijpunten van rechte en parabool

Ook hier is dit het oplossen van het stelsel met de twee vergelijkingen.
Bijvoorbeeld:
Substitutie van y = x2 + x + 3 in de eerste vergelijking geeft:
2x + x2 + x + 3 = 1 ofwel x2 + 3x + 2 = 0.
Dit geeft (kwadratische vergelijking) als oplossing x = -1 of x = -2.
Vervangen van x = -1 in de eerste vergelijking geeft y = 3.
Vervangen van x = -2 in de eerste vergelijking geeft y = 5.
Dit geeft als oplossingen (-1, 3) en (-2, 5).
2x + y = 1
y = x2 + x + 3

Snijpunten van twee parabolen

Ook hier is dit het oplossen van het stelsel met de twee vergelijkingen.
Bijvoorbeeld:
y = a1x2 + b1x + c1
y = a2x2 + b2x + c2
We kunnen de x-waarden vinden door:
a1x2 + b1x + c1 = a2x2 + b2x + c2
Dit geeft een kwadratische vergelijking die geen, één of twee x-waarden oplevert.
De bijbehorende y-waarden vinden we door substitutie van deze x-waarden in één van de oorspronkelijke vergelijkingen.

Snijpunten van cirkels

Ook hier is dit het oplossen van het stelsel met de twee vergelijkingen.
Bijvoorbeeld:
Eerste van tweede vergelijking aftrekken:
4x + 4y -12 = 0 x + y - 3 = 0 y = 3-x
substitueren in de tweede vergelijking.
kwadratisch in x: 2x2 - 8x + 6= 0.
Dit geeft x = 1 of x = 3.
Vervangen van x in één van de oorspronkelijke vergelijkingen geeft als oplossingen (1, 2) en (3, 0).
x2 + y2 – 6x - 4y + 9 = 0
x2 + y2 – 2x – 3 = 0

Raaklijn aan een cirkel

Bijvoorbeeld we zoeken de vergelijking van de raaklijn aan de gegeven cirkel in punt R op de cirkel.
De raaklijn staat loodrecht op oorsprong-raakpunt (de straal dus).
Dus men berekent de richtingscoëfficiënt mMR van de rechte MR. Dan is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn -1/ mMR.
Met de coördinaten van het punt R kan men dan de raaklijn berekenen.

Raaklijnen aan een cirkel door een punt

Nu de volgende vraag: bepaal de raaklijnen aan een cirkel C door een punt P.
P(x0, y0)
Stel dat de cirkel vergelijking: (x – xc)2 + (y – yc)2 = r2 heeft en het punt als coördinaten P(x0, y0).
We weten dan dat de raaklijnen een vergelijking moeten hebben in de vorm: y = m (x – x0) + y0.
Hierin is m onbekend.
xc, yc

Raaklijnen aan een cirkel door een punt

Men kan echter deze laatste vergelijking substitueren in (x – xc)2 + (y – yc)2 = r2 .
Er ontstaat dan een kwadratische vergelijking in x.
Stel de discriminant van deze kwadratische vergelijking gelijk aan nul en los hieruit m op, er zullen twee oplossingen voor m zijn.
Een alternatief is als volgt:
Los m op uit:
| m.xM – yM - m.x0 + y0 |
√(m2 + 1)
Dit is afgeleid van de afstand van een punt tot een rechte (zie eerder).
Hier is het punt het middelpunt van de cirkel (xM, yM) en de rechte elk der raaklijnen.
We zetten de vergelijking om van y – y0 = m (x - x0) naar mx – y – m.x0 + y0 = 0.
En zien dat a = m en, b = -1, c = -m.x0 + y0 en a2 + b2 is dus m2 + 1.

Sirtaqi