Analytische meetkunde I - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Analytische meetkunde I

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Analytische meetkunde

In de analytische meetkunde gaan we meetkundige vraagstukken oplossen door ze in een Cartesiaans assenstelsel over te brengen.
In het vlak betekent dit in de praktijk dat er twee assen zijn, x (horizontaal) en y (verticaal), die loodrecht op elkaar staan en waarvan de eenheid even groot is.
Men noemt dit ook een orthonormaal stelsel.
Elk punt heeft een bepaalde coördinaat, bvb. (-3,1), zoals te zien is in de figuur.

Analytische meetkunde

Zo kan men dan vergelijkingen in x en y opstellen en klassieke meetkundige problemen aanpakken met deze vergelijkingen, dus vooral gebruik makend van algebra.

Afstand tussen twee punten

De afstand tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2) wordt eenvoudig met behulp van de Stelling van Pythagoras berekend:
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
(x1, y1)
(x2, y2)
x2 – x1
y2 – y1

Midden van een lijnstuk

De coördinaten van het midden M van het lijnstuk gevormd door de twee punten (x1, y1) en (x2, y2) zijn:
(xM, yM) = (
x1+ x2
y1+ y2
(x1, y1)
(x2, y2)
(xM, yM)
x1+ x2
y1+ y2

Vergelijking van een rechte

De algemene vergelijking van een rechte is y = mx + q waarbij m de richtingscoëfficient is.
q is de waarde van y waar de rechte de y-as snijdt.
De richtingscoëfficiënt wordt berekend als m = Dy/Dx.
y2 – y1
x2 – x1
m = tan q
q noemen we de helling van de rechte

Rechte door twee punten

Als men twee punten van een rechte kent, kan men de vergelijking als volgt opstellen:
Voorbeeld:
Punten P(-3,1) en Q (3,-2):
y – y1 =
y2 – y1
x2 – x1
. (x – x1)
y – 1 =
- 2 – 1
3 – (-3)
. (x – (-3))
y – 1 =
. (x + 3)
. x - 3/2 + 1 y = -1/2 x - 1/2

Loodrechte stand

Twee rechten zijn onderling loodrecht als het product van hun richtingscoëfficiënten -1 is:
Of, natuurlijk, als één van de rechten evenwijdig is aan de x-as en de ander evenwijdig aan de y-as.
m1 . m2 = -1
m = 1/2
m = -2

Voorbeeld

Vind de vergelijking van de rechte die door het punt (1,2) gaat en loodrecht staat op de rechte 3x – 2y = 5.
We zoeken eerste de richtingscoëfficiënt van de gegeven rechte:
3x – 2y = 5 2y = 3x - 5 y = (3/2) . x - 5/2
Dus m = 3/2
De richtingscoëfficiënt van de gevraagde rechte is dan: mx = -2/3
De vergelijking van de gevraagde rechte is y-y1 = m(x - x1)
Dus y – 2 = (-2/3) . (x – 1) y = (-2/3).x + 2/3 + 2
y = (-2/3).x + 8/3
Men kan dit ook schrijven in de vorm 2x + 3y - 8 = 0.

Snijpunt van rechten

Het oplossen van het snijpunt van rechten is het oplossen van het stelsel vergelijkingen van de twee rechten.
Voorbeeld:
Invullen van x = 3 in één van de twee vergelijkingen geeft y = 13, dus het snijpunt is (3, 13).
y = 2x + 7
y = 3x + 4
2x + 7 = 3x + 4 x = 3

Afstand van een punt tot een rechte

De afstand van een punt A tot een rechte a is de afstand van dit punt A tot het voetpunt S van de loodlijn uit dit punt A op de rechte a. (dit is de kortste afstand).
Stel A(x1, y1) en m: ax + by + c = 0, dan:
d(m, A) =
| ax1 + by1 + c |
√(a2 + b2)
d(m, A)

Sirtaqi