Limieten en asymptoten - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Limieten en asymptoten

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Limiet

Als een bepaalde functiewaarde f(x) nadert tot een waarde L voor x-waarden in de buurt van a dan:
zowel a als L kunnen +∞ of -∞ zijn.
Bijvoorbeeld, stel de functie f(x) = 1/x.
Als we x = 2 nemen, wordt f(x) ½.
Als we x = 4 nemen, wordt f(x) ¼.
Enzovoort, x wordt steeds kleiner en nadert steeds meer tot 0.
We zeggen dan dat de limiet voor x gaande naar + ∞ van 1/x gelijk is aan 0.
f(x) = L
x -> a
1/x = 0
x -> +∞

Voorbeeld

We berekenen de volgende limiet:
x -> 0
√(x2 + 9) - 3
x -> 0
√(x2 + 9) - 3
√(x2 + 9) + 3
√(x2 + 9) + 3
x -> 0
(x2 + 9) - 9
[√(x2 + 9) + 3]
x -> 0
[ √(x2 + 9) + 3]
x -> 0
√(x2 + 9) + 3
(a+b)(a-b) = a2 – b2
= 1/6
x vervangen geeft -3/0, dus verder uitwerken nodig
vervang x door 0

Voorbeeld

We berekenen de volgende limiet:
x -> ∞
x2 + 3
x -> ∞
x vervangen geeft ∞ / ∞, dus verder uitwerken nodig.
x + 3/x
Vervang x door ∞, de noemer gaat naar ∞ + 1/ ∞ = ∞ + 0 = ∞.
En vervolgens 1 / ∞ = 0.

Algemeen

Dit kan veralgemeend worden: bij berekening van een limiet -> oneindig van een breuk van veeltermen, tellen enkel de hoogste machten mee, bvb.
x -> +∞
x2 + 5x
- x – 3x2
x -> +∞
– 3x2
x -> +∞
x2 + 5x
- x – 3x3
x -> +∞
– 3x3
x -> +∞
-3x = -∞

Opgelet

Opgelet!
voor x > 0 : |x| = x en voor x < 0 : |x| = -x
x -> -∞
√ ( 4x2 – 3x -1)
x -> -∞
x (1 + 2/x)
√ [x2(4 – 3/x – 1/x2)]
x -> -∞
x (1 + 2/x)
-x √ [ (4 – 3/x -1/x2)]
x -> -∞
1 + 2/x
- √ [ (4 – 3/x -1/x2)]
= -√4 = -2
We brachten x vanonder de wortel, we zonderen dus √x2 af = |x|, maar dan wordt dat –x, want x < 0 (-∞)!
x boven en onder wegschrappen.
a/x en a/x2 voor x -> ∞ = 0.

Asymptoten

Asymptoten zijn rechten waar een functie steeds dichter naartoe gaat, maar ze slechts in het oneindige raakt.
Hiernaast is de rechte y = x een asymptoot voor de functie y = x + 1/x.
Ook de y-as is een asymptoot van deze functie.

Horizontale asymptoot

y = p is een horizontale asymptoot op +∞ als:
y = q is een horizontale asymptoot op -∞ als:
f(x) = p
x -> +∞
f(x) = q
x -> -∞
Dus we zoeken een rechte evenwijdig met de x-as, dus met constante y, die de functie steeds dichter nadert maar slechts in het oneindige bereikt.
Bij een deling van veeltermen krijgen we dit als de graad van de teller kleiner is of gelijk aan de graad van de noemer.

Voorbeeld

y = 1/2
Bijvoorbeeld voor y = (x-1) / 2x is y = ½ een horizontale asymptoot op –∞ en + ∞.
x -> ∞
(x – 1)
x -> ∞

Verticale asymptoot

De rechte x = a is een verticale asymptoot als:
f(x) = ± ∞
x -> a
y = 4: horizontale asymptoot
x = 2: verticale asymptoot
y = 1/(x-2) + 4
Een voorbeeld:
Dus bij een deling van veeltermen zijn dit nulpunten in de noemer die niet in de teller voorkomen.

Schuine asymptoot

y = ax + b is een schuine asymptoot als:
en a een niet-nul reëel getal.
(apart voor +∞ en -∞ berekenen)
[f(x)/x]
x -> ± ∞
[f(x) - ax]
x -> ± ∞

Voorbeeld

y = x + 1/x
[f(x)/x]
x -> ± ∞
[1 + 1/x2] = 1
x -> ± ∞
[f(x) - ax]
x -> +∞
[x + 1/x - x] = 0
x -> + ∞
[f(x) - ax]
x -> -∞
[x + 1/x - x] = 0
x -> -∞
y = ax + b , dus y = x

Opmerking

Bij een deling van veeltermen is er een schuine asymptoot als de graad van de teller 1 meer is dan de graad van de noemer.
Hier is de schuine asymptoot het quotiënt van de euclidische deling van de veeltermen, dus bvb.:
(x2 – 3x + 2)/x heeft als quotiënt x – 3 en als rest 2.
Dan heeft deze functie als schuine asymptoot y = x – 3.

Voorbeeld

Vind de schuine asymptoot van:
x2 + 5
2x + 1
Dus de schuine asymptoot is y = 2x + 1
2x3 + x2 + 11x + 5
-2x3 - 10x
x2 + x + 5
-x2 - 5
2x3 + x2 + 11x + 5
x2 + 5
f(x) =

Opmerking

Bij delingen van veeltermen: als de graad van de teller meer dan 1 groter is dan die van de noemer, is er geen asymptotisch gedrag (in alle geval geen rechte als asymptoot).

Sirtaqi