Integralen - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Integralen

Integralen

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Primitieve functie

F is een primitieve functie van f als F' = f.
We zeggen dat we hier de onbepaalde integraal van f(x) nemen.
Hierbij is C een constante (een reëel getal).
Integreren en afleiden zijn dus omgekeerde bewerkingen.
Bijvoorbeeld:
∫ f(x) dx = F(x) + C D(f(x)) = f(x)
∫ x dx = x2/2 + C (want D(x2/2 + C) = 2x/2 = x)
Vergeet de constante C niet!

Basisregels

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ (f(x)) dx + ∫ (gx)) dx
∫ k. f(x) dx = k. ∫ (f(x)) dx
Bijvoorbeeld:
∫ (x + 1) dx = ∫ x dx + ∫ 1 dx = x2/2 + x + C
∫ (3 x) dx = 3. ∫ x dx = 3. x2/2 + C

Enkele integralen met machten

∫ xn dx = xn+1/ (n+1) + C
∫ ax dx = ax / ln a + C

Enkele integralen met rationale functies

∫ 1/x dx = ln |x| + C
Buiten het speciale geval waar n = 1 volgende de breuken de algemene regel van de machten waarbij de macht hier negatief is:
vb. ∫ 1/x2 dx = -1/x + C
∫ 1/xn dx = ∫ x-n dx = x-n+1/(-n+1) + C
= 1/ [xn-1 . (-n+1)] + C
vb. ∫ 1/x3 dx = -1/(2x2) + C

Enkele integralen met ln en e

∫ ex dx = ex + C
∫ ln x dx = x ln(x) – x + C

Enkele integralen met sin en cos

∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ 1/cos2 x dx = tan x + C

Subsititutiemethode

We illustreren de substitutiemethode met een voorbeeld:
Stel u = cos x dan is du = d(cosx) = -sin x dx.
∫ sin3 x dx = ∫ sin x.( 1-cos2 x) dx
∫ sin x.( 1-cos2 x) dx = ∫ - (1-u2) . du
= ∫ (- 1+ u2 ). du = ∫ (-1) du + ∫ u2 du = -u + u3/3 + C
En nu vervangen we de u weer door cos x:
-u + u3/3 + C = -cos x + (cos3 x)/3 + C
Men kan dit algemeen toepassen bij integralen van sinmx . cosnx

Partiële integratie

Voorbeelden:
Partiële integratie maakt gebruik van volgende eigenschap:
∫ f dg = f.g - ∫ g df
∫ ln(x) dx = x . ln(x) - ∫ x d(ln x)
= x . ln(x) - ∫ x . 1/x d(x)
= x . ln(x) - ∫ 1 d(x)
= x . ln(x) – x + C
∫ x cos(x) dx = ∫ x d(sin x)
= x . sin(x) - ∫ sin(x) d(x)
= x . sin(x) + cos(x) + C

Nog over goniometrische integralen

Hier kunnen we soms gebruik maken van de formules uit de goniometrie.
Een voorbeeld:
∫ sin2x dx = ∫ ½ . (1 – cos 2x) dx
= ½ . ∫ (1 – cos 2x) dx
= ½ . (x – ½ sin 2x) + C
= x/2 – (sin 2x)/4 + C

Bepaalde integralen

Een bepaalde integraal wordt als volgt berekend:
Voorbeeld:
f(x) dx = F(b) – F(a)
(x2 + 1) dx = (x3/3 + x )
= [23 / 3 + 2] - [03 / 3 + 0] = 14/3

Opgelet

Opgelet: bij substitutie de grenzen aanpassen, zoals hier (u = x2+2):
x / (x2 + 1)2 dx = ½ .
u-2 du
u = x2 + 1 => du = 2x dx
= ½ (-1 . u-1)
= - ½ (6-1 – 3-1)
= - ½ (1/6 – 1/3)
= - ½ (-1/6) = 1/12

Oppervlakte onder de curve

De bepaalde integraal van f(x) voor x gaande van a tot b bepaalt de oppervlakte onder de curve:

Opmerking

Waar de “d” in dx een oneindig kleine verandering voorstelt, stelt het integraalteken in feite een som van een oneindig aantal keer f(x) . dx voor.
Als we dit niet differentiaal nemen, maar de “d” vervangen door eindig grote veranderingen in x, dan zien we dat de som van alle f(x) . Dx inderdaad ongeveer overeenkomt met de oppervlakte onder de curve:
De figuur hiernaast toont dat, hoe kleiner we de Dx nemen, hoe meer de som van al die rechthoekjes (f(x).Dx) de oppervlakte onder de curve zal voorstellen.

Voorbeeld

Een voorbeeld: wat is de oppervlakte onder de sinusfunctie tussen x = 0 en x = p?
sin x dx = (-cos x)
= - cos p – (- cos 0) = -(-1) – (-1) = 2

Maar opgelet!

Opgelet: integreren voor het gedeelte waar de curve onder de x-as gaat, levert een negatieve waarde op.
Als we in onderstaande figuur voor x = 0 tot 2p integeren, krijgen we dus 0.
Om de totale oppervlakte onder de curve te nemen, integreert men van 0 tot p, daarna van p tot 2 p en telt men de absolute waarden van de twee oppervlakten op.

Oppervlakte tussen twee grafieken

Om de oppervlakte te kennen tussen twee grafieken, gaat men tussen de snijpunten eerst de oppervlakte onder de curve van de ene grafiek berekenen, dan van de andere grafiek en deze van mekaar aftrekken.
Maar ook hier vanaf 3 snijpunten: onderverdelen in deelintegralen en de absolute waarden optellen.
g(x) dx -
f(x) dx

Voorbeeld

Bereken de oppervlakte tussen:
We zoeken eerst de snijpunten:
En dan geeft de volgende integraal ons de oppervlakte:
f(x) = -x2 – 2x
g(x) = x
-x2 – 2x = x x2 + 3x = 0 x = 0 of x = -3
(-3, -3)
f(x) = - x2 – 2x
g(x) = x
[(-x2 – 2x) – x] dx
[(-x2 – 3x] dx
= (-x3/3 – 3x2/2)
= 0 – [-(-3)3/3 – 3(-3)2/2] = -9 + 27/2 = 4,5