Rijen - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Rijen

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Wiskundige rij

Is een genummerde opeenvolging van getallen (termen), bijvoorbeeld: 1,2,4,8,...
Het volgnummer van de term noemt men de index.
Voorbeelden zijn:
de rekenkundige rij
de meetkundige rij

Rekenkundige rij

Hier is elke term de vorige term + een bepaald vast getal (het zogenaamde verschil van de rij).
Voorbeeld: 1,3,5,7,9,... Het verschil is hier 2.
Recursief voorschrift: un = un-1 + v
Expliciet voorschrift: un = u1 + (n-1)v
De som na n termen wordt gegeven door:
Sn = n .
u1 + un

Meetkundige rij

Hier is elke term de vorige term * een bepaald vast getal (het zogenaamde quotiënt van de rij).
Voorbeeld: 1,2,4,8,... Het quotiënt is hier 2.
Recursief voorschrift: un =un-1 * q
Expliciet voorschrift: un = u1 . qn-1
De som na n termen wordt gegeven door:
waarbij q verschillend is van 1.
Sn = u1 .
qn - 1

Ter informatie

De meetkundige rij 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, … heeft als quotiënt ½.
We zien hierboven dat de som van al haar elementen, dus Sn voor n -> +∞, gelijk is aan 2.
Hoe kan men dat berekenen?
Sn = u1.(qn – 1)/(q-1) = u1.(1 - qn)/(1 - q) = u1/(1 - q) – u1.qn / (1 – q)
Als nu n -> +∞ en q < 1, zal qn naar 0 gaan. En dus valt de tweede term weg:
Sn = u1/(1 - q) en dus in onze bovenstaande rij: Sn = 1/(1-1/2) = 2

Andere soorten rijen

Er zijn andere soorten rijen, die niet meetkundig of rekenkundig zijn.
Een voorbeeld is de Fibonacci-reeks: elke element is de som van de twee voorgaande:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
De Fibonacci-reeks vormt de basis voor de Finonacci-spiraal, een vorm die we in de natuur tegenkomen: