Snelheid en versnelling - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Rechtlijnige beweging

We gaan ons in dit hoofdstuk met rechtlijnige bewegingen bezig houden.
Hierbij begeeft een bepaald voorwerp zich van één positie naar een andere positie via een bepaalde lijn.
We kunnen dit op een as voorstellen en stellen dat de massa zich verplaatst van positie s1 naar s2, en van tijdstip t1 naar t2.

Formule snelheid

De verplaatsing is s2 - s1 en stellen we voor als Ds.
Het tijdsinterval is t2 - t1 en stellen we voor als Dt.
De snelheid waarmee de verplaatsing gebeurde, wordt gegeven door:
Dus als de verplaatsing 10,0 meter bedroeg en deze werd in 2,0 seconden gedaan, is de snelheid 5,0 m/s.
Let wel dat dit de gemiddelde snelheid is.
Het kan zijn dat de snelheid soms hoger, soms lager lag, maar gemiddeld was de snelheid 5,0 m/s.

ERB

Een beweging die volgens een rechte lijn verloopt en waarbij de snelheid constant is, noemen we een eenparig rechtlijnige beweging (ERB).
De grafieken van een ERB zien er als volgt uit:

Opmerking

Om veilig met de formules te kunnen werken moeten we al onze gegevens omzetten in de standaard SI-eenheden (m voor afstand en lengte, kg voor massa, s voor tijd,…).
De SI(standaard)-eenheid voor snelheid is m/s.
Als we gegevens hebben met km/h, zetten we ze zo om:
1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s
Ofwel:
1,0 m/s = 3,6 km/h
Dus om m/s om te rekenen naar km/h vermenigvuldigen we met 3,6. In het omgekeerde geval delen we door 3,6.

Ter herinnering

Opmerking: de vorm x,y . 10n noemt men de wetenschappelijke notatie.

Opgelet!

Het is opletten geblazen bij het intuïtief rekenen met snelheden!
Bijvoorbeeld, iemand rijdt 60 s tegen 4,0 m/s en dan 60 s tegen 5,0 m/s.
Wat is de gemiddelde snelheid over het ganse traject?
Juist, 4,5 m/s:
Ds1 = 60 * 4,0 = 240 m en Ds2 = 60 * 5,0 = 300 m
Ds = Ds1 + Ds2 = 540 m
v = Ds / Dt = 540 / 120 = 4,5 m/s
Maar nu deze vraag: iemand rijdt 1000 m een berg op tegen 4,0 m/s en dan aan de andere kant de berg 1000 m af tegen 20 m/s, wat is nu de gemiddelde snelheid?
Nu is de gemiddelde snelheid over het ganse traject NIET het gemiddelde van de twee snelheden, dus NIET 12 m/s!

Opgelet!

De totale afstand Ds = 2000 m
Dt1 = Ds1 / v1 = 1000 / 4,0 = 250 s
Dt2 = Ds2 / v2 = 1000 / 20 = 50 s
De totale tijd Dt = Dt1 + Dt2 = 250 + 50 = 300 s
v = Ds / Dt = 2000 / 300 = 6,6 m/s!
Daarom ook dat bergritten in de Ronde Van Frankrijk een lager gemiddelde snelheid hebben dan vlakke ritten.

Het kan nog ingewikkelder

In het Nederlands is er sprake van enige spraakverwarring omtrent het begrip snelheid. Stel bijvoorbeeld dat we 200 m oostwaarts rijden en daarna 100 m westwaarts en dit alles in 60 s. We hebben dan in totaal 300 m afstand afgelegd in 60 s en dus v = 300 m/ 60 s = 5,0 m/s.
Maar de verplaatsing is eigenlijk slechts 100 m oostwaarts, we reden immers 200 meter oostwaarts en keerden terug waardoor we slechts 100 meter van ons vertrekpunt uitkomen, en dus is de verplaatsing 100 m oostwaarts, v = 100 m/60 s = 1,7 m/s.
Er zijn dus twee gemiddelde snelheden: afgelegde weg/tijd en verplaatsing/tijd.
In het Engels worden ze met twee verschillende woorden aangeduid: speed is afgelegde weg/tijd, velocity is verplaatsing/tijd en heeft ook een richting.

Snelheid als vector

Snelheid heeft niet alleen een grootte, het heeft ook een richting en zin.
We kunnen snelheid voorstellen met een pijl, we noemen dit een vector.
Het aangrijpingspunt van de snelheidsvector leggen we in het massazwaartepunt van het bewegende voorwerp.
De richting is de rechte waarop de vector ligt.
richting

Opmerking

Vectoren worden in figuren met een pijltje boven de letter afgebeeld.
We zullen in de tekst vectoren in het vet weergeven, om een onderscheid te maken met de grootte van de vectoren.

Ontbinden volgens x- en y-as

We kunnen een vector v ontbinden volgens de x-as (vx) en de y-as (vy).
Vector v is de vectoriele som van vx en vy.
De grootten van vx en vy zijn als volgt:
vx = v . cos a
vy = v . sin a
En natuurlijk geldt ook (Pythagoras):
v2 = vx2 + vy2
Stelling van Pythagoras
v . cos a
v . sin a

Nog even ter herinnering

sin C = c/a = overstaande/schuine (SOS)
cos C = b/a = aanliggende/schuine
tan C = c/b = overstaande/aanliggende
MODIFIED FROM https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions

Resultante snelheid

Stel dat een roeier een rivier oversteekt. Hij roeit recht naar de wal en stel dat hij de afstand van 100 meter in 100 s aflegt. Zijn (oostelijke) snelheid is dan 1,00 m/s.
Maar stel nu dat er een noordelijke stroming staat en de roeier vaart nog steeds recht op de overkant af (zijn boeg wijst recht naar de overkant), dan zal zijn resulterende snelheid v niet recht naar de overkant staan.
De werkelijke snelheid van de roeier is nu vector v, de resultante van de roeibeweging (vx) en de stroom (vy).
stroom

Opmerking

Als de stroming volgens de y-as werkt en de roeisnelheid volgens de x-as, dan zijn beide bewegingen onafhankelijk: de stroom heeft dan geen invloed op de horizontaal afgelegde weg.
Nog steeds zal de horizontale component vx van zijn snelheid de 100 m afleggen in 100 s.
Hij komt dus nog altijd na evenveel tijd aan de overkant aan, onafhankelijk van de stroom die er loodrecht op staat.
Opmerking: hij komt wel aan op een andere plaats op de andere oever.

Niet-loodrechte componenten

Maar als de stroom en de roeibeweging nu niet loodrecht op mekaar staan, hoe berekenen we dan de resulterende snelheid?
We maken dan een parallellogram (som van vectoren):
Waarbij voor de grootte van v geldt:
waarbij a de hoek tussen v1 en v2 is:
Opgelet: verwar niet met de cosinusregel, het is hier + 2 v1 v2…!
v = v1 + v2
v12 + v22 + 2 v1 . v2 . cos a

Niet-loodrechte componenten

Maar wat met de richting van de resulterende vector?
Wel, hier geldt voor de y-componenten dat v2,y = vy
Dus v2 . sin a = v . sin q
Hieruit kunnen we dan q berekenen.

Verschil van snelheidsvectoren

Soms kan men naar het verschil tussen snelheidsvectoren vragen. Als een snelheidsvector v1 in een snelheidsvector v2 verandert is de verandering Δv = v2 – v1.
Een vector van een andere vector aftrekken is het optellen van de omgekeerde vector.
v2 – v1

Versnelling

Versnelling wordt gedefinieerd als verandering van snelheid gedeeld door het tijdsinterval.
Waarbij Dv = v2 - v1 en Dt = t2 - t1.
Dus stel dat we in 3,0 seconden van 5,0 m/s naar 20,0 m/s versnellen, dan is de versnelling 5,0 m/s/s of we schrijven 5,0 m/s2.
Merk op dat dit in feite een gemiddelde versnelling betreft.
De versnelling tijdens het interval kan soms hoger, soms lager gelegen hebben, maar gemiddeld was ze 5,0 m/s2.

Negatieve versnelling

De waarde voor versnelling kan ook negatief zijn, bvb. -5,0 m/s2.
Bijvoorbeeld een wagen die remt.
Dus v2 is lager dan v1.
Maar: negatieve versnelling impliceert niet altijd een vertraging.
Bijvoorbeeld, als v = -1,0 m/s en de versnelling is negatief, zal v meer negatief worden (bvb. -2,0 m/s) en de absolute waarde van de snelheid neemt toe (we zien het object “versnellen”).
a > 0, |v| neemt af
a < 0, |v| neemt toe

ERVB

Een beweging die volgens een rechte lijn verloopt en waarbij de versnelling constant is, noemen we een eenparig rechtlijnige versnelde beweging (ERVB).
De grafieken van een ERVB zien er als volgt uit:
Een parabool
De lijn kan ook dalend zijn, bij negatieve versnelling
De lijn kan ook onder de tijdsas liggen, bij negatieve versnelling

Afstand als oppervlakte

Nu kan men de verplaatsing ook vinden als de oppervlakte onder de v-t curve.
In het geval van een ERVB met beginsnelheid v0 en eindsnelheid vt, is de oppervlakte de som van de twee gearceerde delen:

Formule

De oppervlakte van het schuin gearceerde is v0 . Dt, de oppervlakte van het volgekleurde (vt - v0). Dt/2, ofwel Dv . Dt/2.
Dus de totale oppervlakte is v0 . Dt + Dv . Dt/2.
Maar aangezien a = Dv / Dt en dus Dv = a . Dt :
Hierbij kan a positief (versnellen) of negatief (vertragen) zijn (of 0 natuurlijk).
Dus stel dat we een beginsnelheid van 1,00 m/s hebben en dan 5,00 s tegen 1,00 m/s2 versnellen, dan hebben we na 5,00 s een afstand afgelegd van 17,5 m.
Ds = v0 . Dt +

Nog een formule

Nog een handige formule om te onthouden, die een verband geeft tussen verplaatsing en snelheid:
vt2 – v02 = 2 a Ds
Voorbeeld: een auto rijdt aan 20 m/s, remt en staat stil in 100 m. Wat was de gemiddelde versnelling bij het remmen?
Hier is vt = 0, dus -v02 = 2aDs -202 = 2a.100 -400/200 = a
a = - 2,0 m/s2

Opmerking

Interessant ook bij het oplossen van vraagstukken met v-t grafieken:
De gemiddelde snelheid bij een eenparig versnelde beweging is gelijk aan: vgem = (vt + v0)/2
Dus als we eenparig versnellen van 3,0 m/s tot 7,0 m/s dan is de gemiddelde snelheid 5,0 m/s en zal na bvb. 3,0 s een afstand afgelegd zijn van 15 m.

Niet-eenparige beweging

Als de bewegingen niet eenparig zijn, kan men de formules met differentialen gebruiken:
Bijvoorbeeld: stel dat een deeltje beweegt met een baanvergelijking x = 3t3 - 1.
Dan is de snelheid in elk punt gegeven door 9t2 en de versnelling door 18t.
Opmerking: de ogenblikkelijke snelheid, v, is dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de x-t curve.