1100

Per hoofdstuk

Edities

Test

Examenvragen - Wiskunde - Arts 2018

Vraag: Arts 2018

De getoonde veelterm wordt herschreven in de vorm die eronder staat.
Bepaal c0 + c1 + c2.
<A> 10
 11
<C> 12
<D> 15

Antwoord: A

Aangezien een briljante ingeving op dit moment uitblijft, werken we met enige tegenzin uit:
p(x) =
c0 + c1x – c1 + c2.x2 + c2.(-3x) + 2c2 + [c3.x2 + c3.(-3x) + 2c3](x-3)
= c0 + c1x – c1 + c2.x2 - 3 c2.x + 2c2 + c3.x3 - 3 c3.x2 - 3 c3.x2 + 9 c3.x + 2 c3x – 6 c3
En dan:
p(x) = c3.x3 + (c2 – 6 c3).x2 + (c1 - 3c2 + 11 c3).x + c0 – c1 + 2c2 – 6 c3
Nu vergelijken met p(x) = x3 – x2 + 2x – 3:
c3 = 1
Dan is c2 – 6 c3 = -1 c2 – 6 = -1 c2 = 5
En c1 - 3 c2 + 11 c3 = c1 - 15 + 11 = +2 c1 = 6
En c0 – c1 + 2 c2 – 6 c3 = c0 - 6 + 10 – 6 = -3 c0 = -1.
c0 + c1 + c0 = 5 + 6 – 1 = 10. Het staat er gelukkig tussen (en toch nog maar eens berekening overlopen: lijkt inderdaad te kloppen).

Vraag: Arts 2018

Bepaal x0 als (x0; y0; z0) de unieke oplossing is van het stelsel
<A> -1
 -2
<C> -3
<D> -4

Antwoord: B

We halen z en y in functie van x uit de bovenste gelijkheden en lossen het volgende stelsel op:
y = x + 1, z = x + 2, x + 2y + 3z + 4 = 0
Vervang y en z in de derde vergelijking:
x + 2.(x + 1) + 3.(x + 2) + 4 = 0
6x + 8 + 4 = 0
6x = -12 x = -2

Vraag: Arts 2018

Het punt P ligt in een vierkant ABCD op een afstand 1 van de hoekpunten A en B en eveneens op een afstand 1 van de zijde [CD].
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de driehoek ABP?
<A> 2/5
 12/25
<C> 3/5
<D> 16/25

Antwoord: B

We zien: z = y + 1 en z = 2x
Dus y + 1 = 2x y = 2x – 1
Nu is x2 + y2 = 12 dus:
x2 + (2x – 1)2 = 1
x2 + 4x2 – 4x + 1 = 1
5x2– 4x = 0
x = 0 (ongeldig) of 5x – 4 = 0
x = 4/5
Dan is y = √(1 – x2)
= √(1 – 16/25) = √(9/25) = 3/5
Oppervlakte driehoek ABP is dan:
(3/5 . 2 . 4/5)/2 = 12/25

Vraag: Arts 2018

De verzameling van de punten (x; y ) in het vlak die voldoen aan de vergelijking
<A> bestaat uit twee evenwijdige rechten.
 is een cirkel.
<C> is een parabool.
<D> bestaat uit twee snijdende rechten.

Antwoord: D

x2 – y2 + x + y = 0: aha, we zien een merkwaardig product in de vergelijking!
(x-y)(x+y) + (x + y) = 0 (x – y – 1)(x + y) = 0
Dus x – y – 1 = 0 of x + y = 0
Dus alle punten die hieraan voldoen liggen op een van de twee rechten met deze vergelijkingen.
Snijden de rechten of zijn ze evenwijdig?
We lossen het stelsel op: tel vergelijking 1 bij vergelijking 2 op:
2x - 1 = 0 x = ½ en dan is y = -1/2.
Het zijn dus twee snijdende rechten.

Vraag: Arts 2018

Zoals gewoonlijk stelt het getal e het grondtal van de natuurlijke exponentiële functie voor en stelt ln de natuurlijke logaritmische functie voor.
Welke waarde neemt de volgende uitdrukking aan als x = ln√3?
<A> 4/5
 8/9
<C> 11/12
<D> 13/14

Antwoord: D

e3x = e3ln√3 = (eln√3)3 = (√3)3 = 3√3
e-3x = 1/(e3ln√3) = 1/(eln√3)3 = 1/(√3)3 = 1/(3√3)
( e3x – e-3x) / (e3x + e-3x) = (3√3 - 1/(3√3)) / (3√3 + 1/(3√3))
Nu teller en noemer vermenigvuldigen met 3√3:
= (9.3 – 1) / (9.3 + 1) = 26/28 = 13/14

Vraag: Arts 2018

Bepaal de afgeleide van de functie f met volgend voorschrift voor x = √π
<A> 2√π
 √π (1 - √π)
<C> 2√π (√π - 1)
<D> 2√π (√π + 1)

Antwoord: C

Wat is de afgeleide van de tangens? Misschien weten we het, maar voor de veiligheid leiden we toch maar af:
D(tan(x)) = D(sin(x)/cos(x)) = (D(sinx).cosx – D(cosx).sinx) / cos2x
= (cosx.cosx – (-sinx).sinx) / cos2x = 1 / cos2x
Voilà, zeker is zeker!
En dan nu:
D((x-1).tan(x2)) = D(x-1).tan(x2) + (x-1).D(tan(x2))
= tan(x2) + (x-1).(1/cos2(x2).2x) = tan(π) + (√π -1).(1/(cos2(π).2√π)
= 0 + (√π -1).(1/(-1)2 . 2√π) = 2√π. (√π -1)

Vraag: Arts 2018

Voor welke waarde van p raakt de grafiek van de functie f met volgend functievoorschrift aan de x-as?
<A> -1/6
 -1/4
<C> -1/3
<D> -1/2

Antwoord: A

Raaklijnen? Dan beginnen we met de functie af te leiden:
f’(x) = 4/3 . 3x2 – 2 . 2x + 1 = 4x2 – 4x + 1
Wanneer is deze waarde 0, m.a.w, wanneer is de raaklijn evenwijdig aan de x-as?
4x2 – 4x + 1 = 0
Oplossen: D = 42 – 4.4.1 = 0
Dus x = 4 /8 = ½
Raken aan de x-as betekent dat f(x)= 0, dus:
4/3.(½)3 – 2 (½)2 + ½ + p = 0 1/6 – ½ + ½ + p = 0
1/6 + p = 0 p = -1/6

Vraag: Arts 2018

N personen van verschillende lengte gaan lukraak in een rij staan. De kans dat door de plaatsverwisseling van precies twee personen de rij netjes geordend is van klein naar groot, bedraagt 1/48.
Hoeveel personen staan in de rij?
<A> 3
 4
<C> 6
<D> 8

Antwoord: C

Het totaal mogelijke ordeningen is steeds N! (N faculteit)
Nu: stel ‘N…54321’, de ordening van groot naar klein
N=2: ’12’ is goed: 2 is verwisseld met 1: dus 1 mogelijkheid
Kans op goede ordening door plaatsverwisseling: 1/2! = 1/2
N=3: ’231’, ‘123’ en ‘312’ zijn goed: 3 kan dus verwisselen met 2 en 1, en 2 dan nog met 1. Dat zijn dus drie mogelijkheden.
Kans op goede ordening door plaatsverwisseling: 3/3! = 1/2
N=4: 4 kan verwisselen met 3, met 2 en met 1, en 3 kan dan nog verwisselen met 2 en 1 en 2 kan dan nog verwisselen met 1. Dat zijn dus 6 mogelijkheden.
Kans op goede ordening door plaatsverwisseling: 6/4! = 1/4
Dus elke keer is het ((N-1)+(N-2)+(N-3)+…+1)/N!
Voor N=6 geldt dan (5+4+3+2+1)/6! = 15/720 = 1/48. Dus N/6.

Vraag: Arts 2018

Vooraf: voor een standaard normaal verdeelde toevalsvariabele Z geldt de 68-95-99,7- vuistregel: P(-1 < Z < 1) ≈ 0,68; P(-2 < Z < 2) ≈ 0,95; P(-3 < Z < 3) ≈ 0,997.
De bevolking op een zeker continent bestaat uit 50 % mannen en 50 % vrouwen. De lengte van de mannen is normaal verdeeld, met gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 5 cm. De lengte van de vrouwen is ook normaal verdeeld, met gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 10 cm. Twee personen worden lukraak gekozen.
Wat is de kans dat beide personen minstens 180 cm zijn?
<A> is groter dan of gelijk aan 9 % maar kleiner dan 10 %.
 is groter dan of gelijk aan 10 % maar kleiner dan 11 %.
<C> is groter dan of gelijk aan 11 % maar kleiner dan 12 %.
<D> is groter dan of gelijk aan 12 % maar kleiner dan 13 %.

Antwoord: B

Voor de mannen: 50% van hen is groter dan 180 cm.
Voor de vrouwen: 180 is één standaardafwijking groter dan 170 cm, dus 0,50 – 0,34 = 16% is groter dan 180.
Mogelijkheden zijn MM MV VM VV
Kans op twee mannen is ¼. Kans dat die twee mannen groter dan 180: 0,50.0,50 = 0,25 = 1/4. Dus in totaal kans twee mannen en groter dan 180cm: ¼. ¼ = 1/16
Kans op man-vrouw = ½. Kans man groter dan 180: 50%= 1/2, kans vrouw groter dan 180:16%= 4/25. Dus in totaal kans op man en vrouw en groter dan 180 cm hierop: ½ . ½ . 4/25 = 1/25
Kans op twee vrouwen is ¼. Kans dat die twee vrouwen groter dan 180: 0,16.0,16 = 4/25.4/25= 16/625. Dus in totaal kans twee vrouwen en groter dan 180cm: ¼. 16/625 = 4/625
Dus de kans in het totaal op twee personen boven 180 cm is:
1/16 + 1/25 + 4/625 = 6,25% + 4% + 0,64% = 10,89%. Antwoord B.

Sirtaqi