Examenvragen - Wiskunde - Juli 2016


Vraag: Juli 2016

Als de veelterm P(x) = x2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reële getallen, dan geldt
<A> b ≠ 1 en a = b2/(b-1)
<B> b ≠ 1 en a = b/(b-1)
<C> b ≠ 1 en a = - b/(b-1)
<D> b ≠ 1 en a = - b2/(b-1)

Antwoord: A

Dan is P(-b) = 0
Dus (-b)2 + a(-b) + a = 0
b2 – ab + a = 0
b2 = ab – a
b2 = a(b-1)
a = b2/(b-1)

Vraag: Juli 2016

Voor welke waarden van c heeft getoonde stelsel heeft een oplossing (x, y) in het eerste kwadrant?
<A> c > -1
<B> 0 < c < 4/3
<C> -1 < c < 4/3
<D> c >4/3

Antwoord: C

Eerste vergelijking optellen bij de tweede geeft:
x + cx = 7 x = 7(1+c)
Dit is slechts strikt positief als 1+c > 0 ofwel c > -1
Eerste vergelijking maal x en de tweede ervan aftrekken geeft:
– cy – y = 3c-4 ofwel (c+1)y = 4 – 3c, dus y = (4 – 3c) / (c+1) als c ≠ -1 (en dat laatste is zo want c > -1)
Nu weten we uit bovenstaande dat c+1 strikt positief moet zijn, dus moet ook 4 – 3c strikt positief zijn, 4 – 3c > 0 ofwel 4 > 3c ofwel 4/3 > c
Dus c > -1 en c < 4/3, dus antwoord C

Vraag: Juli 2016

Het punt P ligt op de diagonaal [BD] van een vierkant met zijde 4 en hoekpunten A, B, C en D.
De afstand van P tot het hoekpunt A is het dubbele van de afstand van P tot de zijde [AB].
Hoeveel bedraagt de afstand van P tot de zijde [AB]?
<A> 2√2 - 1
<B> 2√3 - 2
<C> 4 - √3
<D> 4 - 2√2

Antwoord: B

De driehoek QBP is gelijkbenig, want de hoek tussen PB en AB is 45° en dus ook de hoek tussen PB en QP. Dus: |QB| = x
Dus is |AQ| = 4 – x
Dan geldt in driehoek APQ (Pythagoras):
(4-x)2 + x2 =( 2x)2
(4-x) 2 = 3x2
4-x = √3.x of 4-x = - √3.x
x + √3x = 4 of x + √3x = -4
x = 4/(1+√3) of x = -4/(1+√3)
De tweede is ongeldig want x moet >0
x = [4.(1- √3)] /[(1+√3) .(1- √3)]
x = 4 – 4.√3 / (1-3) = 2√3 - 2

Vraag: Juli 2016

Beschouw de punten O(0; 0), P (a; 0) en Q(0; a) in een orthonormaal assenstelsel. De cirkel ingeschreven in de driehoek met hoekpunten O, P en Q heeft straal 1.
Wat is de oppervlakte van deze driehoek?
<A> 2 + √2
<B> 3 + √2
<C> 3 + 2√2
<D> 6 + 4√2

Antwoord: C

|OR| = 1 en |AR| = 1
Pythagoras: |OA | = √(12+12) = √2
Dus |OB| = 1 + √2
Dit is de hoogte van de driehoek
Nu zijn de hoeken in P en Q = 45°, dus zijn OBP en OBQ gelijkbenig
Daardoor is |BP| = |OB| en dus is |QP| = 2.|BP| = 2.|OB| = 2.(1 + √2)
Dit is de basis van de driehoek
De oppervlakte is basis x hoogte / 2 = (1 + √2). 2.(1 + √2)/2
= (1 + √2)2 = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2

Vraag: Juli 2016

Als cos x = sin x + 1/√3, aan hoeveel is cos3 x - sin3 x dan gelijk?
<A> 1/√3
<B> 2/√3
<C> 3/(2√3)
<D> 4/(3√3)

Antwoord: D

Merkwaardig product:
cos3 x - sin3 x = (cos x – sin x)(cos2 x + cos x sin x + sin2 x)
cos3 x - sin3 x = (cos x – sin x) (1 + cos x sin x)
Nu is (gegeven) cos x = sin x + 1/√3, dus:
cos3 x - sin3 x = (sin x + 1/√3 – sin x) (1 + cos x sin x)
cos3 x - sin3 x = 1/√3 . (1 + cos x sin x)
Nu moeten we nog van cos x. sin x afgeraken. We weten cos x = sin x + 1/√3, dus cos x – sin x = 1/√3, dus:
cos2 x – 2.cos x.sin x + sin2 x = 1/3 1 - 2.cos x.sin x = 1/3
-2 cos x.sin x = (1/3 – 1) = -2/3 cos x.sin x = 1/3
Dus cos3 x - sin3 x = 1/√3 . (1 + 1/3) = 4/(3√3)

Vraag: Juli 2016

Beschouw drie functies f , g en h met functievoorschriften:
f(x) = sin (x / 2), g(x) = 1 – e-x, h(x) = (2x – x2) / 6
De grafieken van f , g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linker eindpunt de oorsprong is.
Welke grafiek stemt overeen met welke functie?
<A> (a) met f , (b) met g, (c) met h
<B> (a) met g, (b) met f , (c) met h
<C> (a) met g, (b) met h, (c) met f
<D> (a) met f , (b) met h, (c) met g

Antwoord: B

Voor x = 1 is
f(x) = sin (1/2) = ongeveer sin(π/6) en is dus ongeveer ½
g(x) = 1 – e-1 = 1 – 1 / 2,7… = ongeveer 1 – 0,4 = dus ongeveer 0,6
h(x) = (2.1 – 12) / 6 = 1/6 = 0,166…
Dus g(x) is de bovenste, f(x) daaronder en h(x) daaronder

Vraag: Juli 2016

Een persoon wordt blootgesteld aan een schadelijke stof. Deze stof komt terecht in zijn bloed en wordt afgebroken door de lever. Stel dat de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed daalt volgens het functievoorschrift Ae-bt (met A en b positieve constanten, en t de tijd uitgedrukt in dagen). Op t = 0 bedraagt de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed 5 milligram (5 mg). Na twee dagen (t = 2) is de hoeveelheid gedaald tot 1 mg.
Hoeveel van deze schadelijke stof blijft er in het bloed van deze persoon na zes dagen ( t = 6)?
<A> 0,02 mg
<B> 0,04 mg
<C> 0,05 mg
<D> 0,20 mg

Antwoord: B

In mg en dagen uitgedrukt is mt = 5.e-bt
Als t = 2 is mt = 1 dus 5.e-2b = 1 e-2b = 1/5
ln (e-2b) = ln(1/5) -2b = -ln(5) b = ln(5) / 2
Na 6 dagen is m6 = 5.e-ln(5).6/2 = 5.e-ln(5).3
Nu is ln(5).3 = ln(53)
Dus m6 = 5/eln(125) = 5/125 = 1/25 = 0,04 mg

Vraag: Juli 2016

Vier verschillende punten P (a; p), Q(b; q), R(a; r) en S(b; s) liggen in het eerste kwadrant.
De punten P en Q liggen op de parabool met als vergelijking y = x2 en de punten R en S liggen op de parabool met als vergelijking y = x2/4. Het lijnstuk [PQ] is dubbel zo lang als het lijnstuk [RS].
Bepaal a + b.
<A> 3/4
<B> 4/3
<C> 2
<D> 3

Antwoord: C

Uit de vergelijking van de parabolen kunnen we uit de x waarden de y waarden berekenen en krijgen we: P (a; a2), Q(b; b2), R(a; a2/4) en S(b; b2/4)
Gegeven is: |PQ| = 2. |RS|
Nu is |PQ|2 = (b – a)2 + (b2 – a2) en |RS|2 = (b-a)2 + (b2/4 – a2/4)2
Nu is |PQ|2 = 4 . |RS|2 (gegeven)
(b – a)2 + (b2 – a2)2 = 4. [ (b-a)2 + (b2/4 – a2/4)2]
(b-a)(b-a) + (b-a)2(b+a)2 = 4. (b-a)2 + 4/16 . (b2 – a2)2
(b-a)2 . (1 + (b + a)2) = 4. (b-a)2 + 4/16 (b-a)2 (b+a)2
1 + (b + a)2 = 4 + ¼ (b+a)2 (a en b zijn verschillend, dus wegdelen mag)
(b + a)2 - ¼ (b+a)2 = 4 -1 ¾ . (b + a)2 = 3 (b + a)2 = 4 b + a = 2 of b + a = -2.
Maar P en Q liggen in eerste kwadrant, dus a en b zijn positief dus a + b = 2

Vraag: Juli 2016

Gegeven is de functie f met als volgend voorschrift. Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f’?
<A> f’(x) = 1 / (1 + x)2
<B> f’(x) = -1 / (1 + x)2
<C> f’(x) = 1 / (1 + x2)
<D> f’(x) = -1 / (1 + x2)

Antwoord: A

f(x) = 1/ (1+1/x) = x / (1 + x) = x . (1+x)-1
=> f’(x) = D(x) . (1+x)-1 + x . D((1+x)-1)
f’(x) = (1+x)-1 + x . (1+x)-2.(-1)
f’(x) = (1+x)-2 ((1 + x)1 –x) = (1+x)-2 . 1 = 1/(1+x)2

Vraag: Juli 2016

Gegeven is de functie f met als voorschrift
f (x) = x3 - 11x2 - 25x - 13.
De rechte met vergelijking y = px + q raakt aan de grafiek van f in het punt A(a; f (a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13; 0).
Als A en B verschillende punten zijn, waaraan is dan p+q gelijk?
<A> -2352
<B> -1
<C> 0
<D> 1

Antwoord: C

f (x) = x3 - 11x2 - 25x – 13
f(-1) = 0, dus we kunnen ontbinden, (Hornerschema tekenen) in: (x+1)(x2 -12x -13) = (x+1)(x+1)(x-13)
Dus er ligt een nulpunt in x = -1 en in x = 13
f’(x) = 3x2 - 22x - 25.
f(-1) = 0, dus we kunnen ontbinden in: (x+1)(3x -25)
Dus de raaklijn in dat nulpunt (-1,0) is horizontaal (f’(x) = 0)
Dus de raaklijn in (-1,0) is de x-as!
En de x-as gaat ook door het punt (13,0)!
Dus y = px + q is y = 0, dus zowel p als q zijn gelijk aan 0
En dus is p + q = 0

Vraag: Juli 2016

De afgeleide van een functie f, gedefinieerd op ]0;+∞[, is gegeven door f’(x) = ln x.
Bovendien is f (e) = e2. Waaraan is f(e2) dan gelijk?
<A> e2
<B> 2e2
<C> 2 + e2
<D> e4

Antwoord: B

Dan is f(x) = ∫ ln x dx
Partiële integratie geeft:
∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x d(ln x) = x.ln x - ∫ x. 1/x dx = x.ln x – x + C
Nu is f( e ) = e2
Dus e . ln e – e + C = e2 e – e + C = e2 C = e2
Dus f(x) = x.ln x – x - e2
Dus f(e2) = e2. ln e2 - e2 – e2 = e2 . 2 = 2e2

Vraag: Juli 2016

Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gebied gelegen boven de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = √ (|4x|) en onder de horizontale rechte met vergelijking y = 4 ?
<A> 28/3
<B> 10
<C> 32/3
<D> 34/3

Antwoord: C

√(|4x|) = 4 voor de waarden x = -4 en x = 4
De grafiek heeft een nulpunt in (0,0).
Die absolute waarde is gevaarlijk bij oplossen van onze integraal. Veiliger lijkt het enkel de oppervlakte rechts van de y-as te nemen, dus voor positieve x en dan naderhand maal 2 te doen
De oppervlakte tussen y = 4 en de x-as is (van x = 0 tot x = +4): 4 . 4 = 16
Die oppervlakte onder de functie (van x = 0 tot x = +4):
∫04 √(4x) dx = 2. ∫04 x1/2 dx = 2. [x3/2 / (3/2)] | 04 = 4/3. (x3/2)| 04 = 4/3. (8 – 0) = 32/3
Dus nu: 16 – 32/3 = 16/3
Dus dit maal 2 doen voor de totale oppervlakte geeft 2 . 16/3 = 32/3

Vraag: Juli 2016

In een woonzorgcentrum lijdt 8 % van de mannen en 4 % van de vrouwen aan de ziekte van Parkinson. Onder de bewoners kiest men lukraak een man en een vrouw.
Hoe groot is dan de kans dat precies een van beiden aan de ziekte van Parkinson lijdt?
<A> 3,24 %
<B> 10,32 %
<C> 11,36 %
<D> 12,58 %

Antwoord: C

De kans dat we een Parkinson-man en een niet-Parkinson-vrouw kiezen is 8/100.96/100
De kans dat we een niet-Parkinson-man en een Parkinson-vrouw kiezen is 92/100.4/100
Dus de totale kans is 8/100.96/100 + 92/100.4/100 = 0,0768 + 0,0368 = 0,1136 = 11,36%

Vraag: Juli 2016

In de wachtkamer van een tandarts staan zes stoelen in een kring. Hierop hebben twee mannen en vier vrouwen in een willekeurige volgorde plaatsgenomen.
Hoe groot is de kans dat er onmiddellijk rechts en onmiddellijk links van elke man een vrouw zit?
<A> 50 %
<B> 60 %
<C> 72 %
<D> 75 %

Antwoord: B

Mannen en vrouwen kunnen op 6! manieren gaan zitten
Nu zijn dit succesvolle schikkingen:
MVMVVV MVVMVV MVVVMV
VMVMVV VMVVMV VMVVVM
VVMVMV VVMVVM
VVVMVM
Dat zijn dus 9 schikkingen, maar de mannen kunnen onderling nog verwisselen dus . 2! en de vrouwen ook: dat is nog eens .4!
Dus de goede schikkingen zijn 9.2!.4!
Dus de kans op de juiste schikkingen is 9.2!.4!/6! = 18/(6.5) = 18/30 = 6/10 = 60%

Vraag: Juli 2016

Judoclub Yuko neemt deel aan een internationale competitie met zeven van haar leden.
Op de wedstrijddag worden alle zeven judoka's een voor een gewogen. Tijdens het wegen houdt de manager van de club het gemiddeld gewicht bij van de leden die reeds gewogen werden. Hij observeert dat het gemiddeld gewicht bij elk nieuwe weging met 1 kg toeneemt.
Hoeveel weegt de zwaarste van de zeven judoka's meer dan de lichtste?
<A> 7 kg
<B> 10 kg
<C> 12 kg
<D> 14 kg

Antwoord: C

Het makkelijkst is hier gewoon met een bepaald gewicht te beginnen:
Eerste weging: m1 = 50
Tweede weging: gemiddelde = (50 + m2)/2 moet 51 zijn, dus m2 = 52
Derde weging: nu moet (50 + 52 + m3)/3 = 52, dus m3 = 54
Vierde weging: nu moet (50 + 52 + 54 + m4)/4 = 53, dus m4 = 56
Dus elke keer komt er 2 kg bij.
Dus mn = m1 + (n-1) . 2
Dus bij de 7de keer wegen is er (7-1).2 = 12 kg bijgekomen.

Sirtaqi
©2017-2024 SIRTAQI