Examenvragen - Wiskunde - Augustus 1997


Vraag: Augustus 1997

Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Een liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Een mm3 (= 1ml) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte.
Hoeveel dagen bedraagt de (gemiddelde) levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier?
<A> 120
<B> 250
<C> 1200
<D> 3600

Antwoord: B

Hoeveel rode bloedcellen zitten er in totaal in het hypothetisch zoogdier?
1.10-6 l bloed bevat 1,35.106 rode bloedcellen
Dus 240 l bevat 240. 106 . 1,35.106 = 324 .1012 = 3,24.1014 rode bloedcellen.
Per seconde worden er 15 miljoen rode bloedcellen aangemaakt, dus om alle rode bloedcellen te vervangen zijn: 3,24.1014 / 15.106 = 0,216.108 = 2,16.107 seconden nodig.
Dit betekent in dagen: 2,16.107 / (3600.24) = 250 dagen

Vraag: Augustus 1997

Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Een liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Een mm3 (= 1ml) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte.
Hoeveel bedraagt het (gemiddelde) volume van een rode bloedcel bij dit zoogdier?
<A> 40 × 10-15 L
<B> 90 × 10-15 L
<C> 180 × 10-15 L
<D> 0,4 × 10-12 L

Antwoord: D

Een mm3 (= 1ml) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen
Dus 1 liter bloed bevat 1,35 .1012 rode bloedcellen
Een liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen
Dus 1,35 .1012 rode bloedcellen stemt overeen met 0,54 l
Dus het volume van 1 rode bloedcel stemt overeen met 0,54 / 1,35 .1012 = 0,4 . 10-12 l

Vraag: Augustus 1997

Als de volgende suiker-in-water oplossingen 1 en 2 gemengd worden, welke van de mengsels heeft dan een suikergehalte dat kleiner is dan 45 g/l?
<A> oplossing 1:4 liter met 50 g/l suiker
oplossing 2: 1 liter met 25g/l suiker
<B> oplossing 1: 3liter met 70 g/l suiker
oplossing 2: 2 liter met 5 g/l suiker
<C> oplossing 1: 2 liter met 105 g/l suiker
oplossing 2: 3 liter met 5 g/l suiker
<D> oplossing 1: 0,5 liter met 360 g/l suiker
oplossing 2: 4,5 liter met 10 g/l suiker

Antwoord: B

A: (4 . 50 + 1 . 25) / 5 = 225 / 5 = 45 g/L
B: (3 . 70 + 2 . 5) / 5 = 220 / 5 = 44 g/L

Vraag: Augustus 1997

Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie: y(x) = 2x4 – 4x3 – 13x2 – 6x – 24 ?
<A> {-5;-1;2;7}
<B> {-4;-1,5;1;16}
<C> {-7;-0,5;3;5}
<D> {-3;-2.5;4;9}

Antwoord: D

Alvast alle gehele delers van 24 kunnen nulpunten vormen, we kijken deze na: reken de veelterm uit voor deze x-waarden:
1 geeft 2 – 4 – 13 – 6 – 24 = -45 is niet 0
-1 geeft 2 + 4 -13 + 6 -24 = -25 is niet 0
2 geeft 32 – 32 - 52 -12 -24 = 88 is niet 0
-2 geeft 32 + 32 - 52 +12 -24 = is 0. Maar staat er spijtig genoeg niet bij
4 geeft 512 -256 – 208 -24 -24 = is 0. Deze staat er wel bij: bij antwoord D.

Vraag: Augustus 1997

Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie
y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + 9ad x + 6bd
is niet juist?
<A> Als a = 0 en bcd ≠ 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten
<B> Als 2c+3d = 0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten
<C> Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten
<D> Als a = 2 heeft de veeltermfunctie –b/3 als nulpunt

Antwoord: C

A: als a = 0 wordt de functie: y(x) = 4bc x2 + 6bd
Een kwadratische vergelijking met 0, 1 of 2 nulpunten
Dus juist
B: als nulpunten 2c = -3d dan:
y(x) = 3a (-3d) x3 + 2b(-3d) x2 +9ad x + 6bd
y(x) = -9ad x3 – 6bd x2 + 9ad x + 6bd
Vervang x door 1 en -1 en de uitkomst is inderdaad 0, dus B is juist
C is niet juist. Als a = 0 (zie boven) en bc is niet 0, dan hebben we x2 = 6bd/4bc = 6d/4c en dan hebben we 2 tegengestelde wortels.
D: als a = 2 wordt de functie: y(x) = 12 cx3 + 4bc x2 + 18 dx + 6bd
y(-b/3) = -12 cb3/27 + 4cb3/9 - 6bd + 6bd
-4 cb3/9 + 4cb3/9 - 6bd + 6bd = 0 : klopt!

Vraag: Augustus 1997

<A> 1000 sin 2πt
<B> 1000 sin 4πt
<C> 1000 sin 8πt
<D> 2000 sin πt
Bij een volwassene in rust pompt het hart bloed in de grote bloedsomloop. De bloedstroomsnelheid kan benaderd worden door het positieve deel van de getoonde sinusoïde.
Bij inspanning verdubbelt de frequentie van de cyclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot.
Bij welke van de volgende sinusoïden is het positieve deel de beste benadering van de bloedstroomsnelheid bij inspanning?

Antwoord: B

In rust is T =1,0 s, dus bij inspanning is T = 0,5 s
De bloedstroomsnelheid is de amplitude A, die wordt dus 250 x 4 = 1000 m/s
Hier is de vergelijking dan v = A.sin (2π/T . t) = 1000.sin(2π/0,5 . t)
v = 1000.sin(4πt)

Vraag: Augustus 1997

Wat is de waarde van tan(Bgcos(-1/2)), waarbij de cyclometrische functie Bgcos de inverse functie is van de cosinus functie?
<A> -√3
<B> √3
<C> √3/3
<D> −√3/3

Antwoord: A

Dus cos x = -1/2
De Bgcos functie is gedefinieerd tussen 0° en 180°
cos x = -1/2 geldt voor de hoek 120°
De tangens van deze hoek is (sin/cos) = (√3/2) / (-1/2) = -√3

Vraag: Augustus 1997

Wat is de straal van de cirkel met vergelijking x2 + y2 - 10x - 6y + 9 = 0?
<A> 3
<B> 5
<C> 9
<D> de vergelijking stelt geen cirkel voor

Antwoord: B

Met de methode van het kwadraat afsplitsen:
x2 - 10x + y2 - 6y = - 9
x2 – 10x + 25 + y2 - 6y + 9 = -9 + 25 + 9
(x – 5)2 + (y – 3)2 = 25
Dus de straal is 5

Vraag: Augustus 1997

Een populatie van dieren groeit exponentieel volgens de formule
N = 100 e0,1t waarbij t in jaren uitgedrukt is; de starttijd is t=0.
Welke van de volgende beweringen is niet juist?
<A> De groeisnelheid neemt lineair toe
<B> De groeisnelheid na 10 jaar is 10e
<C> De groeisnelheid na 5 jaar is √e keer zo groot als op t=0.
<D> De groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren

Antwoord: A

De groeisnelheid is dN/dt
Deze is 100. 0,1 . e0,1t = 10. e0,1t
De groeisnelheid verandert dus exponentieel met de tijd
A is niet juist
B is juist: 10. e0,1.10 = 10e
C is juist:
op t = 0: is de groeisnelheid 10
op t = 5: 10.e0,1.5 = 10.e0,5 = 10√e
D is juist: de groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren: 100. 0,1 . e0,1t , waarbij 100 het aantal dieren is

Vraag: Augustus 1997

Welke van de volgende beweringen is juist?
De rationele functie: y(x) = (x2 – 2x + 1)/x
<A> heeft de rechte y = 0 als asymptoot
<B> Vertoont geen (relatieve) extrema
<C> Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot
<D> Heeft de rechte y = x – 2 als schuine asymptoot

Antwoord: D

A: is niet juist: limiet x -> oneindig is oneindig, dus geen horizontale asymptoot
B: D[(x2 – 2x + 1)/x] = D[x – 2 + 1/x] = 1 - 1/x2
Dit is 0 als 1 - 1/x2 = 0 dus als x = 1
Dus ook B is fout
Schuine asymptoot? We voeren de deling uit en krijgen als quotiënt: x - 2, dus er is een schuine asymptoot y = x – 2

Vraag: Augustus 1997

Beschouw een cilindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V0 m3.
Als de oppervlakte van het vat minimaal is, Hoeveel bedraagt dan de hoogte h (in m) van het vat uitgedrukt in functie van de straal r (in m) van het grondvlak?
<A> 0,75 r
<B> r
<C> 1,5 r
<D> 2 r

Antwoord: B

De oppervlakte van het vat is 1x de oppervlakte van het grondvlak (geen deksel) + de oppervlakte van de mantel, die 2πr.h (de mantel uitgerold heeft als lengte de omtrek van het grondvlak)
Dus: A = πr2 + 2πr.h
Maar ook h is een functie van r. V blijft wel gelijk, dus kunnen we h uitdrukken in functie van r: V = πr2 .h h = V / πr2
Dus A = πr2 + 2πr.V/ / πr2 = πr2 + 2V/ r
We leiden af naar de straal: dA/dr = 2πr + 2V. (-1/r2) = 2πr - 2V/ r2
De afgeleide is 0 als: 2πr - 2V/ r2 = 0
2πr = 2V/ r2 . Nu is V = πr2 .h dus 2πr = 2πr2 .h/ r2 = 2πh
r = h

Vraag: Augustus 1997

Beschouw de irrationele functie:
y(x) = -√(-x2 -2x + 8)
Welke van de volgende beweringen is niet juist?
<A> Ze heeft een buigpunt voor x = 2
<B> Ze heeft een minimum voor x = -1
<C> Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2]
<D> Ze heeft twee snijpunten met y = -2

Antwoord: A

D(- (-x2 -2x + 8)1/2) = - (2x - 2) . ½ . (-x2 -2x + 8)-1/2
= x+1 / (-x2 -2x + 8)
De afgeleide is nul als x + 1 = 0, dus x = -1 is een extremum. Stel x = -2: dan is de afgeleide negatief, stel x = 0, dan is de afgeleide positief, dus dit is een minimum. Antwoord B is juist.
Antwoord C is juist, bij -4 en 2 is het argument van de wortel 0, ertussen in (vb. neem x = 0) is het argument van de wortel positief
Antwoord D: stel -√(-x2 -2x + 8) = -2 ofwel -x2 -2x + 8 = 4
Dus x2 + 2x - 4 = 0. De discriminant = √(22 +4.4.1) = √20, dus positief, dus zijn er twee oplossingen
Dus A moet fout zijn. Hier zou men dan de tweede afgeleide moeten nemen en gelijkstellen aan 0.
D[(x+1) / (-x2 -2x + 8)] = [(-x2 -2x + 8) – (x+1)(-2x-2)] / (-x2 -2x + 8)2
= [(-x2 -2x + 8 + 2x2 + 2x + 2x + 1)] / (-x2 -2x + 8)2 = (x2 + 2x + 9) / (-x2 -2x + 8)2
Dit is 0 als x2 + 2x + 9 gelijk is aan 0. D = 4 – 36 < 0, geen wortels, dus geen buigpunten.

Vraag: Augustus 1997

Eerste bewering: ∫ xex dx = xex – ex dx + C
Tweede bewering: als u(x) en v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:
∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫ v(x)du(x)
<A> Alleen de eerste bewering is juist
<B> Alleen de tweede bewering is juist
<C> Beide beweringen zijn juist
<D> Beide beweringen zijn onjuist

Antwoord: C

De tweede bewering is juist, dit is partiële integratie
Dit toegepast op de eerste bewering:
∫ xex dx = ∫ x dex = xex – ∫ ex dx = xex – ex + C
Dus ook de eerste bewering is juist

Vraag: Augustus 1997

Wat is de waarde van volgende bepaalde integraal?
<A> ln 4
<B> 1/2 ln 4
<C> 2 ln2 4
<D> 2 ln2 2
∫14 lnx / x dx

Antwoord: D

Stel u = ln x dan is du = 1/x dx
Voor x = 1 is u ln 1 en voor x = 4 is u ln 4
Dan wordt de integraal ∫ln1ln4 u du
= [u2/2] ln1ln4 = (ln4)2/2 – (ln1)2/2 = (ln4)2/2 – 0 = (2ln2)2/2 = 2 ln22

Vraag: Augustus 1997

<A> 3
<B> 5/2
<C> 7/3
<D> 4√2/3
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = 4x en y= 2x - 4 en de x-as?

Antwoord: C

We moeten de parabool eerst naar twee functies omvormen:
y = (√4x) = 2√x en y = -2√x. Nu kunnen we de tekening maken:
y = 2√x
y = -2√x
y = 2x - 4
De snijpunten van rechte en parabool:
-2√x = 2x – 4
4x = 4x2 – 16x + 16
4x2 - 20x + 16 = 0 x2 - 5x + 4 = 0
Dit geeft als wortels x = 1 en x = 4
Eerst de oppervlakte links van de stippellijn: ∫01 -2√x dx = -2 [x3/2/(3/2)] 01
= -2. 2/3 = -4/3. Dus oppervlakte = 4/3
y-coördinaat snijpunt = -2√1 = -2
Dus de driehoek rechts van de stippellijn heeft als oppervlakte:2.1/2 = 1. Dus totale opp. = 4/3 + 1 = 7/3

Sirtaqi
©2017-2024 SIRTAQI