Examenvragen - Wiskunde - Juli 2017


Vraag: Juli 2017

De deling van de veelterm P(x) = x3 + mx2 + mx + 4 door x – 2 en x + 2 levert dezelfde rest op. Hoeveel is die rest?
<A> -16
<B> -12
<C> -8
<D> -4

Antwoord: B

Dus 6m + 12 = 2m – 4 4m = -16 m = -4
De rest wordt dan 6.(-4) + 12 = -24 + 12 = -12
2m + 4
3m + 4
6m + 8
6m + 12
-2m + 4
-m + 4
2m - 8
2m - 4
We doen tweemaal het Schema van Horner

Vraag: Juli 2017

Als c een reële constante is, voor welke waarde(n) van c heeft het getoonde stelsel dan een oplossing (x,y) met x > 0 en y > 0?
<A> c > 1
<B> 0 < c < 4/3
<C> -1 < c < 4/3
<D> c > 4/3

Antwoord: C

Vergelijking 1 optellen bij vergelijking 2 geeft: x + cx = 7 x = 7/(1+c)
Dit is groter dan 0 als c > -1
En dan 7/(1+c) – y = 3 7 - y = 3c + 3 y = 4 – 3c
Dit is groter dan 0 als 4 – 3c > 0 4 > 3c c < 4/3
Dus antwoord C

Vraag: Juli 2017

<A> V bevat strikt positieve getallen maar geen strikt negatieve
<B> V bevat strikt negatieve getallen maar geen strikt positieve
<C> V bevat zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
<D> V is de lege verzameling
Noteer V de verzameling van de elementen x ∈ R waarvoor onderstaande ongelijkheid geldt.
Welke van de volgende uitspraken is waar?

Antwoord: D

Als x >= 0: dan is |x| = x
En dus 2x + 1 < x x < -1: dit kan dus niet als x >= 0
Als x < 0: dan is |x| = -x
En dus -2x + 1 < x 3x > 1 x > 1/3: dit kan dus niet als x < 0
Dus de oplossingenverzameling V is de lege verzameling.

Vraag: Juli 2017

<A> 4π
<B> 2π√2
<C> √(8π)
<D> 4√π
Een vierkant heeft dezelfde oppervlakte als een cirkel met straal 2. Welke lengte heeft dan de diagonaal van dat vierkant?

Antwoord: C

De oppervlakte is dus π.22
Dit is ook gelijk aan z2 en dus z2 = 4p z = 2√π
We zien dat d2 = z2 + z2
Dus d2 = 4π + 4π = 8π
Dus d = √(8π)

Vraag: Juli 2017

<A> 99 sin2α
<B> 100 sin2α
<C> 99
<D> 100
Beschouw de functie f met functievoorschrift f(x) = sin2x. Neem α ∈ R met 0 < α < π/2.
Waaraan is de volgende som gelijk?

Antwoord: D

sin (α + π/2) = cos α
sin (α + π) = -sin α
sin (α +3π/2) = -cos α
sin (α + 2π) = sin α
Dus de eerste 4 termen zijn: sin2(α) + cos2(α) + sin2(α) + cos2(α) = 2
Nu zijn er in totaal 200 termen, dus 50 keer deze 4 termen, dus de totale som is gelijk aan 50.2 = 100

Vraag: Juli 2017

<A> (a) en (b)
<B> (a) en (d)
<C> (b) en (c)
<D> (c) en (d)
In de volgende figuur worden vier krommen weergegeven. De grafiek van de functie f met functievoorschrift f(x) = -ln(1/x2) bestaat uit de unie van welke twee krommen?

Antwoord: D

Als x gelijk is aan e, dan is f(x) = -ln (e-2) = 2
Als x gelijk is aan –e, dan is f(x) = -ln (1/(-e)2) = ln (e-2) = 2
Nu is e = 2,718… dus curves c en d
Antwoord D

Vraag: Juli 2017

Noem S het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten P(x,y) waarvoor x >= y en (x-5)2 + y2 <= 25.
Wat is de oppervlakte van S?
<A> 25/2 (π/2 – 1)
<B> 25π/2
<C> 25/2 (3π/2 + 1)
<D> 25 (3π/4 + 1)

Antwoord: C

Het komt erop aan de cirkel op de juiste plaats te tekenen
De gevraagde oppervlakte is de oppervlakte in de cirkel onder y = x
Dit is dus driekwart van de cirkel (B+C) plus een driehoek onder de rechte y=x (A)
De oppervlakte van ¾ van de cirkel is
π52.(3/4) = 25 3π/4
De oppervlakte van de driehoek is 5.5/2 = 25/2
Opgeteld geeft dit 25/2 (3π/2 + 1)

Vraag: Juli 2017

<A> a <= 0
<B> a >= 0
<C> a < 0
<D> a > 0
Gegeven is de functie f met onderstaand functievoorschrift met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als

Antwoord: D

De richtingscoëfficiënt van de eerste bissectrice (y = x) is 1.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve is de waarde van de afgeleide in dat punt:
f’(x) = x2 + 2x + (a+2)
Dus de vraag is: wanneer is deze nooit = 1?
x2 + 2x + (a+2) = 1 als x2 + 2x + (a+1) = 0
Dit heeft geen oplossingen in x als de discriminant D < 0
D = 22 – 4.1.(a+1) = -4a
Dus wanneer is -4a < 0? Als a > 0.

Vraag: Juli 2017

De functies f en g worden gegeven door de volgende functievoorschriften.
De grafieken raken elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijking van de gemeenschappelijke raaklijn in P.
<A> y = -x + 3
<B> y = -2x + 4
<C> y = -3x + 5
<D> y = -4x + 6

Antwoord: B

f’(x) = -2x
g’(x) = 2.(-1).1/x2 = -2/ x2
Dus in een punt x,y gemeenschappelijk is deze waarde gelijk en de richtingscoëfficiënt van de gemeenschappelijke raaklijn
-2x = -2/ x2 x2 = 1 x = 1, invullen in f(x) geeft y = 2
Dus het punt waar ze raken is (1,2)
De richtingscoëfficiënt van die raaklijn? We vullen x in in f’(x):
-2.1 = -2
Dus de vergelijking van de raaklijn is
y – 2 = -2 (x-1) y = -2x + 4

Vraag: Juli 2017

Bereken
<A> 7 ln 4
<B> 9 ln 4
<C> 14 ln 4
<D> 16 ln 4

Antwoord: A

2 ln x |12 + 4 ln x |24 + 8 ln x |48
= 2 ln2 – 2 ln1 + 4 ln4 – 4 ln2 + 8 ln8 – 8 ln4 (1)
Nu is ln 2 = ln (41/2) = ½ ln4 en ln 8 = ln (4.2) = ln4 + ln 2 = ln4 + ½ ln4 = 3/2 ln4
Dus (1) = ln 4 – 2.0 + 4 ln4 – 2 ln4 + 8 ln8 – 8 ln4 + 12 ln4 – 8 ln4
= 7 ln 4

Vraag: Juli 2017

De functie f wordt gegeven door het volgende functievoorschrift.
Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f.
Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b.
<A> π2/12 + 1
<B> π2/9 + 1
<C> π2/8 + 1
<D> π2/6 + 1

Antwoord: B

f’(x) = 1 – 2 sin x
Wanneer is dit 0? Als sin x = ½ dus als x = 30°
Voor x = 0° is dit positief, voor 60° is dit 1 – 2.√3/2 , dus negatief
Dus x = 30° is een maximum. a = 30° = p/6
f”(x) = -2 cos x is 0 als cos x = 0, dit geldt voor x = π/2
Dit is een buigpunt: links van π/2 is de cos -, rechts ervan is de cos +
Dus b = π/2
∫π/6π/2 (x + 2cosx) dx = (x2/2 + 2 sin x ) | π/6π/2 = (π/2)2 / 2 + 1 – (π/6)2 / 2 – 1
= π2 / 8 - π2 / 72 + 1
= 9 π2 /72 - π2 / 72 + 1 = 8 π2 /72 + 1 = π2 /9 + 1

Vraag: Juli 2017

<A> 0,6 <= P < 0,7
<B> 0,7 <= P < 0,8
<C> 0,8 <= P < 0,9
<D> 0,9 <= P < 1
Stel dat 5% van de bevolking een genetische afwijking heeft. Er is een test beschikbaar om deze afwijking te meten, maar die is niet perfect. Als een persoon de afwijking heeft, geeft de test in 95% van de gevallen inderdaad positief, maar anders negatief. Als een persoon de afwijking niet heeft, geeft de test in 97% van de gevallen inderdaad negatief, maar anders toch positief.
Stel dat bij een willekeurig persoon de test positief aangeeft. Welke uitspraak over de kans P dat deze persoon inderdaad de afwijking heeft is geldig?

Antwoord: A

Afwijking
Geen afwijking
Totaal
Test is positief
Test is negatief
Een klassieke “werkelijk en vals positieven en negatieven” vraag.
Laat ons het geheel op 1000 personen brengen. 50 hebben er dan de afwijking. 95% ervan test positief = 47,5, de rest negatief = 2,5
Van diegenen die de afwijking (950) niet hebben test 97% negatief (921,5) en de rest positief (28,5).
Dus op 76 positief getesten zijn er 47,5 werkelijk positief
Dit de kans dat de persoon werkelijk positief is, is 47,5/76 = 0,625
Totaal

Vraag: Juli 2017

<A> 1/6
<B> 1/8
<C> 1/10
<D> 1/12
Een hartchirurg contacteert in een willekeurige volgorde vijf collega’s: één uit Detroit, één uit San Francisco, één uit New York, één uit Chicago en één uit Houston. Wat is de kans dat hij zijn collega uit Chicago eerder contacteert dan die uit Detroit en ook die van Detroit eerder dan die uit New York?

Antwoord: A

Goede combinaties:
CDN— CD-N- CD—N
C-DN- C-D-N
C—DN
-CDN- -CD-N
Nu, wat is de kans op elk van deze combinaties?
Neem de eerste (CDN—): 1/5.1/4.1/3 en de twee laatsten hebben een kans van 1, dus 1/60
Neem de tweede (CD-N-): 1/5.1/4.2/3.1/2.1/1 = 1/60
Enzovoort, dit is zo voor elk van de combinaties
Dus 10 * 1/60 = 1/6

Vraag: Juli 2017

Een student moet het gemiddelde m berekenen van drie getallen x, y en z, met x < y < z. Eerst berekent hij het gemiddelde x en y, en daarna het gemiddelde van dat gevonden resultaat en z. Het eindresultaat dat deze student vindt is
<A> correct
<B> altijd kleiner dan m
<C> altijd groter dan m
<D> soms kleiner dan, soms groter dan m

Antwoord: C

Het gebruikelijke gemiddelde m = (x+y+z)/3 = (4x + 4y + 4z)/12
Het gemiddelde berekend door de student:
((x+y)/2 + z)/2 = x/4 + y/4 + 2z/4 = (x + y + 2z)/4 = (3x + 3y + 6z)/12
z is het grootste getal en heeft het groter aandeel (6z) in het eindresultaat van de student, dus dit is altijd groter dan m.

Vraag: Juli 2017

Vooraf: voor een standaard normaal verdeelde toevalsvariabele Z geldt de 68-95-99,7-vuistregel: P(-1 < Z < 1) ≈ 0,68; P(-2 < Z < 2) ≈ 0,95; P(-3 < Z < 3) ≈ 0,997.
Het IQ van een bepaalde bevolkingsgroep is normaal verdeeld. Van deze groep heeft 16% een IQ van minder dan 95 en 2,5% haalt een IQ hoger dan 125. Twee mensen worden lukraak uit deze bevolkingsgroep gekozen. De kans dat minstens één van beiden een IQ heeft dat hoger is dan 115
<A> is kleiner dan 5%
<B> ligt tussen 5 % en 15 %
<C> ligt tussen 15 % en 25 %
<D> ligt tussen 25 % en 35 %

Antwoord: D

Als links van 95 16% is, dan is tussen 95 en μ 34%, dus tussen 95 en μ is σ afstand.
Als rechts van 125 2,5 % is, dan is de afstand tussen μ en 125 2 σ.
Dus tussen 95 en 125 liggen 3σ en dus σ = 10
Dus μ = 105. 115 ligt op 1σ afstand, dus kans op x > 115 = 50% - 34% = 16%.
Mogelijkheden (teken kansboom): beide > 115: 0,16 . 0,16. Eén van de twee: 2 . 0,16.0,84. Dus 0,16.0,16 + 2.0,16.0,84 = 0,2944 = 29,44 %

Sirtaqi
©2017-2024 SIRTAQI