1102

Per hoofdstuk

Edities

Test

Examenvragen - Wiskunde - Arts 2020

Vraag: 1 Arts 2020

Als α ∈ [0, π/2[ en 2 cos2 α + cos α – 1 = 0, hoeveel bedraagt dan sin α?
<A> 1/2
 √2/2
<C> √3/2
<D> 1

Antwoord: C

Dit is een kwadratische vergelijking in cos α.
We bepalen de discriminant: D = 1 + 8 = 9
Dus cos α = (-1 ± 3)/4
Dus cos α = -1 of ½
Nu is α ∈ [0, π/2[ dus cos α = ½, dan is α = 30° en sin α = √3/2

Vraag: 2 Arts 2020

De parabool met vergelijking y = x2 + 2x gaat door de oorsprong. Beschouw de rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 9/4. Deze rechte snijdt de parabool in een tweede punt P. Hoeveel bedraagt dan de y-coördinaat van P?
<A> 1/4
 3/4
<C> 3/8
<D> 9/16

Antwoord: D

Stel P(xp, yp)
Voor de rechte door de oorsprong geldt: y = 9/4 x
Dus yp = 9/4 xp, dus xp = 4/9 yp.
yp = xp2 + 2xp
Dus yp = (4/9 yp)2 + 2(4/9 yp)
Dus yp = 16/81 yp2 + 8/9 yp
Dus 1 = 16/81 yp + 8/9
Dus 1/9 = 16/81 yp
Dus yp = 1/9 * 81/16 = 9/16

Vraag: 3 Arts 2020

Wat is de maximale oppervlakte van een rechthoek met lengte L en breedte B waarbij L en B voldoen aan
L = (720 – 18B)/5
<A> 1200
 1440
<C> 1560
<D> 1600

Antwoord: B

Oppervlakte A = L * B
Dus A = (720 – 18B)/5 * B
= 720/5 B – 18/5 B2
dA/dB = 720/5 – 36/5 B
Is 0 als: 720/5 = 36/5 B B = 20
Dan is L = (720 – 18B)/5 = (720 – 360)/5 = 360/5 = 72
Dan is A = L * B = 72 * 20 = 1440

Vraag: 4 Arts 2020

Een apotheker heeft van de hoestsiropen TUZOX en MUCIL een aantal flesjes in voorraad in een verhouding 3 : 2. Hij verkoopt de helft van de flesjes TUZOX en 4 flesjes MUCIL.
De verhouding van het resterende aantal flesjes TUZOX en MUCIL is nu 7 : 8. Hoeveel flesjes van beide soorten samen heeft hij dan nog over?
<A> 40
 45
<C> 50
<D> 55

Antwoord: B

nT1 = 3/2 nM1
nT2 = nT1/2
nM2 = nM1 – 4 (3)
nT2 = 7/8 nM2 (4)
4 vergelijkingen met 4 onbekenden: we zijn hoopvol
(1),(4): nT1/nT2 = 24/14 nM1/nM2
(2): nT1/nT2 = 2
Dus 2 = 24/14 nM1/nM2 nM1/nM2 = 28/24 nM1 = 7/6 nM2
Dan wordt (3): nM2 = 7/6 nM2 – 4 1/6 nM2 = 4 nM2 = 24
(4) wordt: nT2 = 7/8 nM2 = 7/8 * 24 = 21
Dus nM2 + nT2 = 45

Vraag: 5 Arts 2020

Op elke zijde van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 construeert men een vierkant, zoals in de figuur hieronder aangegeven. Wat is de totale oppervlakte van deze Y-vormige figuur?
<A> √3/4(1 + 4√3)
 √3/4(1 + 3√3)
<C> √2/4(1 + 4√2)
<D> √2/4(1 + 3√2)

Antwoord: A

De totale oppervlakte van de drie vierkanten is 3 * (1 * 1) = 3
Voor de ingesloten driehoek geldt: breedte * hoogte/2
De breedte is 1, maar de hoogte?
De hoogte is 1 * cos 60° = √3/2
Dus de oppervlakte van de ingesloten driehoek = √3/4
Dus de totale oppervlakte van de Y-vormige figuur bedraagt:
3 + √3/4 = √3/4 (1+ 4√3)

Vraag: 6 Arts 2020

Een proefdier heeft bij een lichaamstemperatuur van 36 °C een hartslag van p slagen per minuut en bij 30 °C van q slagen per minuut. Als men aanneemt dat er een lineair verband bestaat tussen de lichaamstemperatuur en de hartslag, hoeveel slagen per minuut bedraagt de hartslag van dit proefdier dan bij 32 °C, uitgedrukt in p en q?
<A> (p – q) / 3
 (2p – q) / 3
<C> (p + q) / 3
<D> (p + 2q) / 3

Antwoord: D

Stel temperatuur is x as, aantal slagen per minuut is y-as
De vergelijking van de rechte door de twee metingen:
n – q = (p-q)/(36-30) (θ-30)
Waarbij n het aantal slagen per minuut is en θ de temperatuur in graden celsius
Stel θ = 32, dan n – q = (p-q)/6 (32 – 30)
Dus n – q = (p-q)/3
Dus n = (p-q)/3 + q
Dus n = p/3 + 2/3 q = (p + 2q)/3

Vraag: 7 Arts 2020

De reële getallen x en y zijn zo dat voor alle reële getallen a en b geldt onderstaande vergelijking. Welk verband bestaat er dan tussen x en y?
<A> x = 2y
 x = 3y
<C> x = 4y
<D> x = 5y

Antwoord: D

Als we de vermenigvuldiging uitvoeren wordt linksonder: ax – ay
Dus ax – ay = 2a x – y = 2 x = 2 + y (1)
En rechtsonder: bx + by, dus bx + by = 3b x + y = 3 (2)
Vervang (1) in (2): 2 + y + y = 3, dus 2y = 1 dus y = ½
Dan is volgens (1): x = 2 + ½ = 5/2
Dus x = 5y

Vraag: 8 Arts 2020

Zoals gebruikelijk stelt e het grondtal van de natuurlijke logaritme voor. Gegeven is de functie f met functievoorschrift:
f(x) = ln(ex + 2).
Bepaal het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x-coördinaat ln(2), en de rechte met vergelijking y = ln(2).
<A> (-ln(2); ln(2))
 (ln(2); ln(2))
<C> (ln(2);-ln(2))
<D> (2 ln(2); ln(2))

Antwoord: A

Stel punt P punt met xP = ln2
yp = ln(eln2 + 2) = ln(2+2) = ln4 = 2 ln2
De raaklijn in dat punt aan de grafiek:
Richtingscoefficient D(f(x)) = 1/(ex+2) * D(ex+2) = ex/(ex+2)
Dus in punt P is de richtngscoefficient van de raaklijn:
mP = eln2/(eln2+2) = 2/(2+2) = 1/2
Dus de vergelijking van de raaklijn in P is:
y – 2 ln2 = ½ * (x – ln2)
Stel y = ln(2) om het gevraagde snijpunt te bepalen:
ln2 – 2 ln2 = ½ * (x – ln2) - ln2 = ½ * (x – ln2)
- 2 ln2 = x – ln2 x = -ln2

Vraag: 9 Arts 2020

Gegeven zijn de functies f en g met voorschrift:
f (x) = x2 ln x en g(x) = 2x2- 5x + 1:
De raaklijn in het punt P (a; g(a)) aan de grafiek van g staat loodrecht op de raaklijn in het punt Q(1; f (1)) aan de grafiek van f. Bepaal g(a).
<A> -2
 -1
<C> 1
<D> 8

Antwoord: A

Richtingscoefficient raaklijn op f(x):
D(x2 lnx) = 2x lnx + x2 (1/x) = x + 2x ln(x)
Dus in het punt (1, f(1)) is deze: 1 + 2*1*ln(1) = 1
Dus loodrecht daarop: richtingscoefficient = -1
Nu is richtingscoefficient raaklijn: D(g(x)) = 4x – 5
Dus 4x – 5 = -1
Dus 4x = 4 x = 1
En g(1) = 2*12-5*1+1 = -2

Vraag: 10 Arts 2020

Gegeven is de functie f met onderstaand functievoorschrift. Voor welk van de volgende x-waarden bereikt f GEEN lokaal extremum: -2, 2, 3 of 8?
<A> -2
 2
<C> 3
<D> 8

Antwoord: B

Voor x = -2: |5 - |3-(-2)|| = 0: we zien dat bij kleinere x (bvb 2,1) de waarde positief is, voor grotere x (bvb. -1,9) ook (want altijd positief)
Voor x = 3: |5 - |3-3|| = 5: we zien dat bij kleinere x de waarde kleiner is, voor grotere x ook
Voor x = 8: |5 - |3-8|| = 0: we zien dat bij kleinere x de waarde groter is, voor grotere x ook (want altijd positief)
Voor x = 2: |5 - |3-2|| = 4: we zien dat bij kleinere x de waarde kleiner is, voor grotere x groter. Dit is dus geen lokaal extermum.
Antwoord B

Sirtaqi