1102

Per hoofdstuk

Edities

Test

Examenvragen - Wiskunde - Tandarts 2018

Vraag: Tandarts 2018

Diëtist Jannes staat voor een probleem. Hij beschikt tijdelijk enkel over de volgende gegevens met betrekking tot het aantal calorieën per soort boterhambeleg
Hij wenst hieruit de twee calorierijkste (per gewichtseenheid) samen met de twee caloriearmste (per gewichtseenheid) te rangschikken van calorierijk naar caloriearm. Welke rangschikking is de juiste?
<A> P-G-B-J
 S-P-J-B
<C> P-C-J-B
<D> P-S-B-J

Antwoord: D

Een weggever…we rekenen ze allemaal uit:
Boterhamworst: 3 cal/g
Chocoladepasta: 5 cal/g
Goudakaas: 190/50 = 3,8 cal/g
Jam: 35/15 = 2,3 cal/g
Pindakaas: 190/30 = 6,3 cal/g
Salami: 210/40 = 5,3 cal/g
Dus P – S – B – J

Vraag: Tandarts 2018

De kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 heeft twee reële oplossingen x1 en x2 die verschillen van nul.
Welke vergelijking heeft als oplossingen -1/x1 en -1/x2?

Antwoord: D

Ik denk hier onmiddellijk aan de som en productregel.
Deze zegt:
x1 + x2 = -b/a en x1 . x2 = c/a (*)
Nu zijn de oplossingen van de vergelijking die we zoeken -1/x1 en -1/x2
De som S hiervan is:
-1/x1 -1/x2 = -(x2 + x1)/x1x2 = (zie *) (b/a) / (c/a) = b/c
Het product P is: -1/x1 . -1/x2 = 1/ (x1x2) = (zie *) 1/(c/a) = a/c
Nu is de vergelijking x2 – Sx + Px = 0, dus we zoeken een vergelijking van de vorm x2 – (b/c)x + (a/c)x = 0
Alles vermenigvuldigen met c geeft:
cx2 – bx + ax = 0

Vraag: Tandarts 2018

Hoeveel bedraagt het aantal reële oplossingen van onderstaande vergelijking?
<A> 1.
 2.
<C> 3.
<D> 4.

Antwoord: A

Kan x2 + x + 1 = 0 zijn? D = 12 – 4.1.1 < 0. Dus: nee.
Dus we mogen (x2 + x + 1) wegdelen:
x2 + x + 1 = - (x2 + x – 1/2)
2x2 + 2x -1/2 = 0 4x2 + 4x -1 = 0
D = 42 – 4.(-1).4 = 16 – 16 = 0
Dus één reële oplossing.

Vraag: Tandarts 2018

Bereken:
(sin 15° + cos 15°)2 + (sin 30° + cos 30°)2 + (sin 45° + cos 45°)2 + (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 75° + cos 75°)2 + (sin 90° + cos 90°)2
<A> 6
 7
<C> 7 + √3
<D> 8 + √3

Antwoord: D

Algemeen:
(sinx + cosx)2 = sin2x + 2 sinx cosx + cos2x
= sin2x + cos2x + 2 sinx cosx = 1 + sin 2x
Dus we lossen op:
1+sin30°+1+sin60°+1+sin90°+1+sin120°+1+sin150°+1+sin180°
= 6 + ½ + √3/2 + 1 + √3/2 + ½ + 0 = 8 + √3

Vraag: Tandarts 2018

De cirkel C1 heeft vergelijking x2 + y2 – 16x -12y + 75 = 0
De cirkel C2 heeft hetzelfde middelpunt en een kleinere straal. De oppervlakte van het ringvormig gebied begrensd door beide cirkels is 7π.
Welk punt ligt op de cirkel C2?
<A> A(4, 8)
 B(6, 7)
<C> C(10, 10)
<D> D(11, 9)

Antwoord: D

We brengen de vergelijking van C1 in de standaardvorm:
x2 – 16 x + 64 – 64 + y2 – 12 y + 36 – 36 = - 75
(x – 8)2 – 64 + (y – 6)2 – 36 = - 75
(x – 8)2 + (y – 6)2 = - 75 + 64 + 36 = 25 = 52
Dus het middelpunt van de cirkels is (8,6) en de straal van C1 is 5.
Dus de oppervlakte van C1 is πr2 = 25π.
Dus de oppervlakte van C2 = 25π – 7π = 18π
Dus de straal van C2 is √18.
Dus de vergelijking van C2: (x – 8)2 + (y – 6)2 = 18
Voldoet A hieraan? (4-8)2 + (8-6)2 = 20, is niet 18. Fout.
Voldoet B hieraan? (6-8)2 + (7-6)2 = 5, is niet 18. Fout.
Voldoet C hieraan? (10-8)2 + (10-6)2 = 20, is niet 18. Fout.
Voldoet D hieraan? (11-8)2 + (9-6)2 =18. Juist.

Vraag: Tandarts 2018

De functie f is bepaald door onderstaand voorschrift.
Wat is de y-coördinaat van het snijpunt van de twee asymptoten van de grafiek van deze functie?
<A> 3
 -2
<C> -1
<D> 1

Antwoord: C

Voor x = 1 gaat de functie duidelijk naar oneindig: dit is een verticale asymptoot.
Is er een horizontale asymptoot? Dan moet de functie voor een waarde van x -> oneindig op een reële waarde uitkomen: neen, de breuk gaat naar 0 maar de andere factor naar oneindig: geen horizontale asymptoot.
Schuine asymptoot:
x -> ∞
x -> ∞
x(x-1)
- 2 + 1/x)
= -2 = a
x -> ∞
[f(x) – ax]
x -> ∞
( 1/(x-1) – 2x + 1 – 2x ) = 0 + 1 = 1 = b
Dus de schuine asymptoot heeft als vergelijking y = ax + b = y = -2x + 1
Deze snijdt met x = 1 in een punt met x-coördinaat 1 en y = -2 . 1 + 1 = -1
Dus de coördinaat van het snijpunt van de twee asymptoten is (1,-1)

Vraag: Tandarts 2018

Zoals gewoonlijk stelt het getal e het grondtal van de natuurlijke exponentiële functie voor en stelt ln de natuurlijke logaritmische functie voor. De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = 2x – ln(2x) voor x > 0.
Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f die door de oorsprong gaat.
<A> (2e - 2)/e
 (e - 1)/2e
<C> (2e - 1)/e
<D> (e - 2)/e

Antwoord: A

De raaklijn heeft als richtingscoëfficiënt f’(x).
f’(x) = 2 – 1/(2x) . D(2x) = 2 – 1/x = m
We weten ook dat de raaklijn door de oorsprong gaat: y = mx
Dus y = (2 – 1/x).x = 2x -1
We hebben nu twee vergelijkingen waaraan het raakpunt (x,y) moet voldoen: y = 2x -1 en y = 2x – ln(2x)
Dit geeft als x-coödinaat van het raakpunt: 2x -1 = y = 2x – ln(2x) 2x -1 = 2x – ln(2x) ln(2x) = 1 2x = e x = e/2
Dan geeft y = 2x -1 = 2(e/2) – 1 = e – 1 de y-coördinaat van het raakpunt.
En aangezien m = y/x is m = (e-1)/e/2 = (2e – 2)/e

Vraag: Tandarts 2018

De functie f wordt gegeven door volgend functievoorschrift.
Bepaal de oppervlakte van het gebied gelegen onder de x-as, boven de grafiek van f , en tussen de verticale rechten met vergelijkingen x = -3 en x = 1.
<A> 4
 8
<C> 16
<D> 32

Antwoord: C

Om te zien waar de grafiek onder de x-as ligt bepalen we de nulpunten:
3x3 + 3x2 – 6x = 0 als x = 0 of 3x2 + 3x – 6 = 0
D = 9 + 72 = 81, dus x = (-3 + 9)/6 = 1 of x = (-3 - 9)/6 = -2
We integreren eerst tussen -3 en -2: dit geeft als resultaat:
(3x4/4 + x3 – 3x2)|-3-2
= 3(-2)4/4 + (-2)3-3(-2)2 – [3.(-3)4/4 + (-3)3 -3(-3)2]
= 12 – 8 – 12 –[81.3/4 – 27 – 27] = -8 – [243/4 – 54] = -8 – [27/4] = -59/4
Dus opp.= 59/4
Integreren tussen 0 en 1 geeft resultaat:
(3x4/4 + x3 – 3x2)|01 = ¾ + 1 – 3 – 0 = 7/4 - 3= -5/4, dus opp.= 5/4
De twee oppervlakte samenvoegen: 59/4 + 5/4 = 64/4 = 16. Bingo!

Vraag: Tandarts 2018

Een groep proefpersonen bestaat uit 3 mannen en 7 vrouwen. Om een nieuwe soort tandpasta uit te testen kiest men hieruit 4 personen waarbij er minstens 1 man moet zijn.
Hoeveel verschillende keuzes zijn er?
<A> 140
 145
<C> 160
<D> 175

Antwoord: D

1 man: MVVV
3 mogelijkheden voor de man
C37 mogelijkheden voor de vrouwen = 7!/(3!4!) = 35
Dus totaal mogelijkheden: 3 . 35 = 105
2 mannen: MMVV
C23 mogelijkheden voor de mannen = 3!/(2!) = 3
C27 mogelijkheden voor de vrouwen = 7!/(5!2!) = 21
Dus totaal mogelijkheden: 3 . 21 = 63
3 mannen: MMMV
1 mogelijkheid voor de mannen
C17 mogelijkheden voor de vrouwen = 7
Dus totaal mogelijkheden: 1.7 = 7
Dit geeft in totaal: 105 + 63 + 7 = 175

Vraag: Tandarts 2018

Vooraf: voor een standaard normaal verdeelde toevalsvariabele Z geldt de 68-95-99,7- vuistregel: P(-1 < Z < 1) ≈ 0,68; P(-2 < Z < 2) ≈ 0,95; P(-3 < Z < 3) ≈ 0,997.
In een bepaalde stad is de lengte van volwassen vrouwen normaal verdeeld met een gemiddelde lengte van 161 cm en een standaardafwijking van 6 cm. In die stad wonen 200 000 volwassen vrouwen.
Hoeveel ervan hebben een lengte tussen 149 cm en 167 cm?
<A> ongeveer 142 000
 ongeveer 154 000
<C> ongeveer 163 000
<D> ongeveer 175 000

Antwoord: C

149 is twee standaardafwijkingen verwijderd van het gemiddelde 161, dus tussen 149 en 161 zijn er 0,95/2=0,475 van het geheel.
167 is één standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde 161, dus tussen 161 en 167 zijn dat er 0,68/2 = 0,34 van het geheel.
We nemen de som: 0,475 + 0,34 = 0,815 (dus 81,5 %)
En dan 0,815 * 200 000 = 163 000

Sirtaqi