Examenvragen - Wiskunde - Juli 2015

Vraag: Juli 2015

Voor welke waarde(n) parameter a ∈ R is het getoonde stelsel oplosbaar?
<A> als en slechts als a ≠ 1
<B> als en slechts als a ≠ -1
<C> als en slechts als a ∉ {-1,1}
<D> voor alle a ∈ R

Antwoord: A

De eerste vergelijking met a vermenigvuldigen en de tweede ervan aftrekken (dan valt x weg):
(Opgelet: dit is niet geldig als a = 0, maar dit is makkelijk na te gaan: substitueer in de vergelijkingen en vind x = 0 en y = 0, dus wel geldig)
a2y – y = a2 (a+3) + 2a
(a2 – 1)y = a(a2+3a+2) = a(a+1)(a+2)
y = a(a+1)(a+2)/(a2 – 1)
Nu is dit ongeldig als a = 1 of a = -1 (men mag a+1 niet zomaar onder en boven wegschrappen als a = -1!)
Substitueer a = 1: geeft x+y = 4 en x+y = -2 : ongeldig dus
Substitueer a = -1: geeft x-y = -2 en y – x = 2: geldig (opl. R2)

Vraag: Juli 2015

Uit een blad papier knippen we een cirkel met straal √2 cm en een rechthoek met zijden 4 cm en 2 cm. We plaatsen de rechthoek op de cirkel zodanig dat hun middelpunten samenvallen.
Hoeveel bedraagt de oppervlakte (in cm2) van het deel van de cirkel dat niet door de rechthoek wordt bedekt?
<A> π − 2
<B> π − 1
<C> 2π − 1
<D> 2π − 2

Antwoord: A

De gevraagde oppervlakte is 2X
Doordat de straal √2 is, en de linkse zijde van de driehoek die in de figuur gevormd is 2/2 dus 1 is, is de andere zijde van die driehoek ook 1
De oppervlakte van die driehoek is 1.1/2 = ½. Zo gaan er 8 in het vierkant, dus 8.1/2 = 4
De oppervlakte van de cirkel bedraagt π.(√2)2 = 2p
Dus 4X = 2π - 4
Dus 2X = π - 2

Vraag: Juli 2015

Beschouw een ruit met zijde 1.
Hoeveel bedraagt de som van de kwadraten van de lengtes van de diagonalen van deze ruit?
<A> 4
<B> 2√2
<C> 2
<D> kan niet bepaald worden uit de gegevens.

Antwoord: A

De grote diagonaal noemen we D, de kleine d
Volgens Pythagoras:
(d/2)2 + (D/2) 2 = 12
d2/4 + D2/4 = 1
d2 + D2 = 4

Vraag: Juli 2015

De onderstaande uitdrukking is gelijk aan de sinus van een hoek α als en slechts als
<A> s ∈ [1,+∞[
<B> s ∈ ]−∞, 0]
<C> s ∈ ]−∞,1/2] ∪ [1,+∞[
<D> s ∈ ]−∞, 0] ∪ [2/3,+∞[

Antwoord: D

Dan moet de uitdrukking >= -1 en <= 1
(s - 1) / (1 – 2s) >= -1
Als 1–2s > 0, dus als s < 1/2: s–1 >= -1. (1–2s) s–1 >= -1 + 2s s <= 0
Als 1–2s < 0 dus als s > 1/2: s–1 <= -1. (1–2s) s – 1 <= -1 + 2s s >= 0
(s - 1) / (1 – 2s) <= 1
Als 1 – 2s > 0, dus als s < 1/2: s – 1 <= 1. (1 – 2s) s – 1 <= 1 - 2s 3s <= 2 s <= 2/3
Als 1 – 2s < 0 dus als s > 1/2: s – 1 >= 1. (1 – 2s) s – 1 >= 1 - 2s 3s >= 2 s >= 2/3
Gecombineerd:
als s < ½ dan moet s <= 0 en s <= 2/3, dus s <= 0
Dus alle s <= 0 zijn okee
als s > ½ dan moet s >= 0 en s >= 2/3, dus s >= 2/3
Dus alle s >= 2/3 zijn okee

Vraag: Juli 2015

Aan hoeveel is de uitdrukking sin2 15° + cos2 30° + sin2 45° + cos2 60° + sin2 75° gelijk?
<A> 5/2
<B> 3/2
<C> 2
<D> 1

Antwoord: A

sin 75° = cos 15° (complementaire hoeken)
Dus in de gegeven uitdrukking is sin2 15° + sin2 75° = sin2 15° + cos2 15° = 1
Dus de gegeven uitdrukking wordt 1+ cos2 30° + sin2 45° + cos2 60°
Nu is cos 60° = sin 30° (complementaire hoeken)
Dus cos2 30° + cos2 60° = cos2 30° + sin2 30° = 1
Dus de gegeven uitdrukking wordt 1 + 1 + sin2 45°
sin 45 kennen we: √2/2. Dus de uitdrukking wordt:
2 + (√2/2)2 = 2 + 2/4 = 2 + ½ = 5/2

Vraag: Juli 2015

De logaritme met grondtal 2 van een strikt positief getal x wordt als 2log(x) genoteerd.
Als 2log(a) gelijk is aan 1024, aan wat is 2log(2a) dan gelijk?
<A> 2048
<B> 1025
<C> 1023
<D> 512

Antwoord: B

2 log(2a) = 2 log(2) + 2 log(a) = 1 + 1024 = 1025

Vraag: Juli 2015

Hoeveel bedraagt het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking
y = x2+x +1 en y = 2x2−2x +3?
<A> 4
<B> 2
<C> 1
<D> 0

Antwoord: B

We zoeken dan x waarvoor:
x2+x +1 = 2x2−2x +3
x2 – 3x + 2 = 0
We kunnen dan de discriminant uitrekenen enzovoort, maar we zien onmiddellijk:
(x – 2)(x - 1)= 0
x = 2 of x = 1
Er zijn dus 2 snijpunten

Vraag: Juli 2015

Gegeven is de functie f met als voorschrift
f (x) = ln (1 − x)2 + ln (1 + x)2.
Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f ′?
<A> f’(x) = 4x / (x2 – 1)
<B> f’(x) = 4 / (x2 – 1)
<C> f’(x) = 4x / (1 - x2)
<D> f’(x) = 4 / (1 - x2)

Antwoord: A

f(x) = ln (1 − x)2 + ln (1 + x)2
f(x) = ln [(1 − x)2 . (1 + x)2]
f(x) = 2 ln [(1 − x) . (1 + x)]
f(x) = 2 ln [1 – x2]
=> f(x) = 2. 1/(1-x2) .D(1-x2) = 2. 1/(1-x2) . (-2x) = -4x/(1-x2) = 4x / (x2 - 1)

Vraag: Juli 2015

Beschouw de vierkantsvergelijking 2x2 + (a + 1)x + a2 − 1 = 0 in de onbekende x met parameter a ∈ [0, 1].
De oplossingen van deze vergelijking hangen af van a. Wat is de maximale waarde van de som van de kwadraten van die oplossingen?
<A> 10/3
<B> 7/3
<C> 4/3
<D> 1/3

Antwoord: C

We lossen eerst de vierkantsvergelijking op:
De wortels zijn [-(a + 1) +/- √((a+1)2-8(a2-1))] / 4
Oftewel: [-(a + 1) +/- √( -7a2 + 2a + 9)] / 4
De som van de kwadraten:
[(a + 1)2 -2(a + 1) √( -7a2 + 2a + 9) + ( -7a2 + 2a + 9) ]/16
+ [(a + 1)2 +2 (a + 1) √( -7a2 + 2a + 9) + ( -7a2 + 2a + 9) ]/16
= [2.(a + 1)2 + 2. ( -7a2 + 2a + 9)]/16
= [2a2 + 4a + 2 – 14a2 + 4a +18]/16
= (-12a2 + 8a + 20)/16 (1)
We nemen de afgeleide in a: (-24a + 8)/16. Dit is 0 als -24a + 8 = 0, dus als a = 1/3
Dan is (1): (-12/9 + 8/3 + 20)/16 = (-4/3 + 8/3 + 60/3)/16 = (64/3)/16 = 4/3

Vraag: Juli 2015

Bepaal n waarvoor
<A> 280
<B> 140
<C> 120
<D> 100

Antwoord: C

∫12 x2 dx = x3/3 | 12 = 8/3 – 1/3 = 7/3
∫23 (x-1)2 dx : stel u = x-1 dan du = dx en de integraal wordt: ∫12 (u)2 du
We zien dat dit dezelfde integraal is dan de vorige, dus = 7/3
280 / (7/3) = 280 . 3/7 = 40 . 3 = 120

Vraag: Juli 2015

Bereken de waarde van de gegeven bepaalde integraal.
<A> 1/4
<B> 3/4
<C> 1/8
<D> 3/8

Antwoord: D

Stel u = cos x dan is du = d(cosx) = -sin x dx
∫0π/3 sin x.cosx dx = ∫ 11/2 - u. du = -u2/2 | 11/2 = -(1/2)2/2 - -((1)2/2) = -1/8 + ½ = 3/8
Merk op dat we bij aanpassen van de grenzen nu integreren van x =1 naar x = ½, dus eigenlijk “achteruit” integreren.

Vraag: Juli 2015

De functie f is bepaald door het voorschrift f (x) = 2x3 − 6x + 6.
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het vlak gebied ingesloten door de grafiek van f , de x-as en de verticale rechten door het lokaal minimum en het lokaal maximum van f ?
<A> 16
<B> 14
<C> 12
<D> 10

Antwoord: C

f (x) = 2x3 − 6x + 6
f’(x) = 6x2 – 6 f’(x) = 6.(x-1)(x+1). Dit wordt nul voor x = -1 en x = 1.
Voor x = -2 is f’(x) positief, voor x = 0 is f’(x) negatief, dus x = -1 is een maximum
Voor x = 0 is f’(x) negatief, voor x = 2 is f’(x) positief, dus x = 1 is een minimum
De oppervlakte tussen de grafiek en de rechten x = 1 en x = -1 voor x gaande van -1 tot 1 is dan:
∫-11 (2x3 − 6x + 6 ) dx = ( 2x4/4 – 6x2/2 + 6x) | -11 = ( x4/2 – 3x2 + 6x) | -11
= [1/2 – 3 + 6] - [1/2 – 3 - 6] = 6 + 6 = 12

Vraag: Juli 2015

In een koelkast worden tien bloedzakjes bewaard: zes met bloed van het type A-positief en vier met bloed van het type A-negatief.
Als men lukraak drie zakjes uit de koelkast neemt, hoe groot is dan de kans dat er precies twee bij zijn met bloed van het type A-positief?
<A> 1/2
<B> 3/10
<C> 1/5
<D> 1/6

Antwoord: A

Er zijn drie juiste combinaties:
A+A+A-: kans hierop is 6/10 . 5/9 . 4/8 = 120/720 = 1/6
A+A-A+: kans hierop is 6/10 . 4/9 . 5/8 = 120/720 = 1/6
A-A+A+: kans hierop is 4/10 . 6/9 . 5/8 = 120/720 = 1/6
Totale kans is 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Vraag: Juli 2015

In een bepaalde regio heeft 12 % van de bevolking diabetes. Onderzoek toont aan dat 80 % van de inwoners van die regio zich nooit laat testen op diabetes en dat 40 % van de inwoners die zich wel laat testen ook effectief diabetespatiënt is.
Wat is de kans dat iemand die zich niet laat testen op diabetes wel diabetespatiënt is?
<A> 7 %
<B> 6 %
<C> 5 %
<D> 4 %

Antwoord: C

20% laat zich testen, daarvan 40% diabetes => op 100 zijn dat 20*40/100 = 8 gevallen
Nu heeft de totale bevolking 12% diabetes, dus 4 op de 100 gevallen komt van mensen die zich niet laten testen
Nu maken die mensen die zich niet laten testen 80% uit van de bevolking
Dus 4 op de 80 heeft diabetes van wie zich niet laat testen
4/80 = 0,05 = 5%
Geen test
Totaal
Diabetes
Geen diabetes
Totaal

Vraag: Juli 2015

Vooraf: voor een standaard normaal verdeelde toevalsvariabele Z geldt de 68-95-99,7-vuistregel: P (−1 < Z < 1) ≈ 0,68; P (−2 < Z < 2) ≈ 0,95; P (−3 < Z < 3) ≈ 0,997.
De toevalsveranderlijke X1 is normaal verdeeld met gemiddelde 10 en standaardafwijking 4 (grafiek 1). De toevalsveranderlijke X2 is ook normaal verdeeld maar met gemiddelde 11 en standaardafwijking 3 (grafiek 2).
De corresponderende grafieken snijden elkaar in de punten met x-coördinaat s ≈ 8,44 en t ≈ 16,13 (zie figuur). Welke van de volgende vier uitspraken is vals?
<A> P (X1 > t) < 0,16 en P (X2 > s) < 0,84.
<B> P (X1 > 14) = P (X2 > 14).
<C> P (X1 < 6) < 0,17 en P (X2 > 17) < 0,03.
<D> P (X1 > t) = P (X2 > t).

Antwoord: D

Voor A :
Voor grafiek 1 geldt dat 68% (P = 0,68) ligt tussen 10 – 4 en 10 + 4. Dus 0,16 (16%) ligt boven 14. Nu is t ongeveer 16,13, dus daarboven ligt zeker minder dan 0,16
Voor grafiek 2 geldt dat 68% ligt tussen 11 – 3 en 11 + 3, dus 1 – 0,16 = 0,84 (84%) ligt boven 8. Dus wat minder ligt boven s (8,44)
Dus A is juist
Voor B: Voor grafiek 1 ligt 0,16 boven 10 + 4 = 14 en voor grafiek 2 ligt 0,16 boven 11 + 3 = 14. Dus B is juist
Voor C: Voor grafiek 1 geldt dat 16% (P = 0,16) ligt beneden 10 – 4=6 en voor grafiek 2 geldt dat 2,5% (P = 0,025) ligt boven 11+ 2σ =17
Dus C is juist
Voor D: dan zou 16,13 evenveel σ moeten afliggen van hun gemiddelden (dan is het procentuele gedeelte rechts even groot) . Is dit zo? Voor grafiek 1: (16,13 – 10)/4 en voor grafiek 2: (16,13 – 11)/3. Dit is niet gelijk, dus D is fout.