Examenvragen - Wiskunde - Juli 2013

Vraag: Juli 2013

<A> x ≥ 2/3
<B> x ≤ 2/3
<C> x є [4/3, 2]
<D> x є [2/3,2]
Gegeven is de volgende ongelijkheid │4 − 3x│ ≤ 2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: D

Dan moet 4 – 3x <= 2 en 4 − 3x >= -2
-3x <= -2 en -3x >= -6
x >= 2/3 en x <= 2 (want delen door een negatief getal keert het teken om!)

Vraag: Juli 2013

<A> x > 1/2
<B> x < 1/2
<C> x є ]1/2, 9/2[
<D> x є ]-1/2, 3/2[
Gegeven is de volgende ongelijkheid │ x − 5/2 │ < 2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

Dan moet x − 5/2 < 2 en x − 5/2 > -2
x < 9/2 en x > 1/2
Dit is voor de twijfelaars trouwens ook eenvoudig na te gaan door bij de antwoorden een bepaalde waarde te controleren, bvb. voor antwoord A: stel x = 1000 => klopt niet, antwoord B: stel x = -1000 => klopt niet, antwoord D: x = 5/2 voldoet wel maar ligt niet binnen dat interval. Dus moest het inderdaad antwoord C zijn.

Vraag: Juli 2013

Gegeven is een figuur van een vierkant dat raakt aan twee cirkels.
Hoeveel bedraagt de verhouding r1/r2 en wat kan men zeggen over de grootte van de oppervlakten A1 en A2?
<A> r1/r2 = √3 en A1 > A2
<B> r1/r2 = √2 en A1 > A2
<C> r1/r2 = √2 en A1 < A2
<D> r1/r2 = √3 en A1 < A2
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

We zien dat r12 = r22 + r22
Dus r12 = 2 r22 r1/r2 = √2
De oppervlakte van het vierkant is 2r2. 2r2 = 4r22
De oppervlakte van de kleine cirkel is πr22
Dus de oppervlakte van A2 = (4r22 - πr22)/4
De oppervlakte van de grote cirkel is πr12
Dus de oppervlakte van A1 = (πr12 - 4r22)/4
Stel dat A2 > A1 dan: 4r22 - πr22 > πr12 - 4r22
(8-π)r22 > πr12 (8-π)r22 > π (√2r2)2
(8-π)r22 > 2πr22 (8-π) > 2π 8 > 3π
onjuist, dus A1 > A2.

Vraag: Juli 2013

<A> 2
<B> 1
<C> -1
<D> -2
We beschouwen drie rechten:
y + x = 3
2x - y = 3
y - mx = 5
Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: D

We beginnen met het snijpunt van de eerste twee rechten
Los stelsel op
y + x = 3 en 2x - y = 3
Twee vergelijkingen optellen geeft: 3x = 6 x = 2
In de eerste vervangen van x geeft y + 2 = 3 y = 1
Invullen van x en y in derde rechte geeft:
y - mx = 5 1 - 2m = 5 -2m = 4 m = -2

Vraag: Juli 2013

Gegeven zijn de coördinaten van een punt:
x = - √8.sin(200°) en y = √11.cos (140°)
In welk kwadrant is dit punt gelegen?
<A> I
<B> II
<C> III
<D> IV
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: D

De sinus van 200° is negatief (zie goniometrische cirkel) , dus - √8.sin(200°) is positief
De cosinus van 140° is negatief, dus √11.cos (140°) is negatief
Dus het punt ligt in kwadrant IV

Vraag: Juli 2013

Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = ln(x-2) + 1 weer?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Er is geen snijpunt met de y-as: voor x = 0 is ln(x-2) + 1 niet bestaand.
Snijpunt met de x-as: ln(x-2) + 1 = 0 als ln(x-2) = -1
x-2 = e-1 x = 2 + 1/e, dus x tussen 2 en 3, dus antwoord B

Vraag: Juli 2013

Gegeven volgende vergelijking x: 3x-1 = 83x. Hoeveel bedraagt x?
<A> ln 3 / (ln3 – 9 ln2)
<B> ln 3 / (ln3 + 3 ln2)
<C> ln 3 / (ln3 - 3 ln2)
<D> ln 3 / (ln3 - 6 ln2)
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

3x-1 = 83x
ln 3x-1 = ln 83x
(x-1) ln3 = 3x ln8
x ln3 = 3x.3.ln2 + ln3
(ln3 - 9 ln2) x = ln3
x = ln3 / (ln3 - 9 ln2)

Vraag: Juli 2013

<A> 1
<B> 2
<C> 1 en 3
<D> 2 en 4
We beschouwen nevenstaande rationale functie.
Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1
2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1
3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1
4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1
Welke van deze uitspraken zijn correct?
y(x) =
2x2 + x2 - x
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Limiet voor x->1 is ∞, dus x = 1 is een verticale asymptoot, 2 is juist, 1 is fout
Er is geen schuine asymptoot, want de graad van de teller is niet gelijk aan de graad van de noemer + 1, 3 en 4 zijn fout
Dus antwoord B

Vraag: Juli 2013

<A> 0
<B> 1
<C> 2
<D> 3
We beschouwen de functie: y = x3− 2x + 4
Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

We kunnen de rechte ook schrijven als y = 3x - 2
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan ook 3.
Dus in hoeveel punten van de curve heeft de raaklijn een richtingscoëfficiënt = 3? Daar waar de afgeleide = 3.
We leiden af: y’ = 3x2− 2 en dit is dan = 3
3x2− 2 = 3 x2 = 5/3 Dit heeft twee oplossingen, dus antwoord C

Vraag: Juli 2013

<A> π/6
<B> π/5
<C> π/4
<D> π/3
De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. De gearceerde lijn x=a verdeelt de oppervlakte onder de curve tussen 0 en π/4 in twee delen van gelijke oppervlakte (A=B).
Hoeveel bedraagt de waarde van a?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

De oppervlakte tussen 0 en p/2 is:
∫0π/2 cos x dx = sin x | 0π/2 = 1 - 0 = 1
Nu is de oppervlakte tussen 0 en a:
∫0a cos x dx = sin x | 0a = sin (a) - sin (0) = sin (a)
We weten nu dat deze oppervlakte gelijk is aan ½
Dus sin (a) = ½, dus in dit interval is a = 30° = π/6

Vraag: Juli 2013

In een bol bevinden zich drie witte, vier zwarte en vijf rode knikkers. We nemen willekeurig een knikker uit de bol en plaatsen deze niet terug. We nemen nu een tweede knikker uit de bol.
Hoeveel bedraagt de kans dat deze tweede knikker rood is?
<A> 5/33
<B> 5/12
<C> 5/11
<D> 5/36
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Ofwel is de eerste bal wit (P = 3/12):
Dan nog 5/11 kans op tweede rood => 3/12.5/11 = 15/132
Ofwel is de eerste bal zwart (P = 4/12):
Dan nog 5/11 kans op tweede rood => 4/12.5/11 = 20/132
Ofwel is de eerste bal rood (P = 5/12):
Dan nog 4/11 kans op tweede rood => 5/12.4/11 = 20/132
Dus in totaal 15/132 + 20/132 + 20/132 = 55/132 = 5/12