Examenvragen - Wiskunde - Juli 2012

Vraag: Juli 2012

<A> -2
<B> 1
<C> 2
<D> 3
Gegeven volgende gelijkheid.
Hoeveel bedraagt de som (p+q)?
x(2x+3)
x2+3x+2
p(x+1)
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Hier weet je best dat: x2+3x+2 = (x+1)(x+2)
De teller van het tweede lid wordt dan: p(x+1)(x+1) + q(x+2)
Beide noemers zijn gelijk dus beide tellers zijn gelijk:
2x2+3x = px2+2px+p+qx+2q = px2 + (2p+q)x +p
p = 2 en (2p+q) = 3 p = 2 en q = -1 p + q = 1

Vraag: Juli 2012

In de ziekenhuisapotheek zijn twee actieve stoffen A en B beschikbaar als mengsels. Men beschikt over een stock van 2 soorten mengsels, mengsel 1 en mengsel 2.
De samenstelling van deze twee mengsels is in de volgende tabel weergegeven.
De apotheker mengt een hoeveelheid mengsel 1 met een andere hoeveelheid mengsel 2. Hij bekomt een nieuw mengsel met 80 mg actieve stof A en 50 mg actieve stof B.
Welke hoeveelheid van dit nieuwe mengsel bekomt hij dan?
<A> 640 mg
<B> 460 mg
<C> 880 mg
<D> 560 mg
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Stel x = hoeveelheid mengsel 1 en y = hoeveelheid mengsel 2
Dan is 0,2 x + 0,05 y = 80 en 0,1 x + 0,15 y = 50
Vgl 1 – 2 vgl 2 geeft: -0,25 y = -20, dus y = 80
En dan 0,2 x + 0,05 . 80 = 80 0,2 x = 76 x = 380
We zochten x + y = 380 + 80 = 460 mg

Vraag: Juli 2012

We beschouwen een gelijkbenige driehoek.
De figuur toont de tophoek β en de basishoeken 15° en α.
Welke uitdrukking over de hoeken α en β is correct?
<A> sin α – sin β ≥ 0
<B> sin β – cos α ≥ 0
<C> cos α – cos β ≥ 0
<D> cos β – sin α ≥ 0
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

De hoek α is dus 15°, de hoek β = 180° - 15° - 15° = 150°
De cos 150° = - cos 30° (zie dit in gedachten op de goniometrische cirkel)
De sin 150° = sin 30° (idem)
De sin 15° is kleiner dan de sinus van 30° (150°)
Dus sin α < sin β, dus A is fout
De cos 15° is groter dan de cosinus van 30° en deze is groter dan de sinus 30° (150°)
Dus cos α > sin β, dus B is fout
De cos 15° is groter dan – cosinus 30° (=cos 150°)
Dus cos α > cos β, dus C is juist
De sin 15° is groter dan – cosinus 30° (=cos 150°), dus D is fout

Vraag: Juli 2012

In de volgende figuur rusten twee gelijke rechthoekige driehoeken tegen elkaar.
Bereken de sinus van de aangegeven hoek α.
<A> 4/5
<B> 3/4
<C> -3/4
<D> 3/5
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

We kunnen via Pythagoras (33 + 43 = 53) alle zijden uitrekenen.
We weten dat sin α = sin β
En dus sin α = sin β = 4/5

Vraag: Juli 2012

Gegeven de parabool y = 2x2 + 2x + 3/2.
Een niet-horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool.
Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn?
<A> 20
<B> 12
<C> 8
<D> 4
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

y = 2x2 + 2x + 3/2. Dan is y’ = 4x + 2.
Een rechte door P(2,1) heeft als vergelijking:
(y-1) = m.(x-2) m = (y-1) / (x-2)
Nu heeft de raaklijn aan de curve als richtingscoëfficiënt 4x + 2
Dus (y-1) / (x-2) = 4x + 2
Nu weten we: y = 2x2 + 2x + 3/2 en dus
(2x2 + 2x + 3/2 – 1) / (x-2) = 4x + 2
2x2 + 2x + ½ = 4x2 + 2x - 8x - 4
2x2 -8x -9/2 = 0 4x2 -16x -9 = 0 : D = 256 + 144 = 400
Oplossingen: x = (16 + 20)/8 = 9/2 en x = (16-20)/8 = -1/2
x invullen in y’ geeft y’ = 20 en y’ = 0 (de laatste is horizontaal)
Dus antwoord A

Vraag: Juli 2012

In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen.
Dit verband wordt weergegeven door de volgende best passende functie:
y = 100x2 – 1500x + 600
Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst?
<A> 6,5 h
<B> 7 h
<C> 7,5 h
<D> 8 h
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

Dan is de afgeleide van 100x2 – 1500x + 600 = 0
f’(x) = 200x – 1500 = 0 x = 1500/200 = 7,5 uur.
Is dit ook een minimum?
Neem x = 0 => f’(x) is negatief, x = 10: f’(x) is positief, dus 7,5 uur is inderdaad een minimum.

Vraag: Juli 2012

Bereken de volgende onbepaalde integraal:
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

Substitutie: u = x2/2, dus du = x dx
= 1/(3e) .
du = 1/(3e) . e3eu
Dus antwoord C

Vraag: Juli 2012

<A> π/4 – 1/4
<B> π/2 – 1/2
<C> π – 1
<D> π/4 – 1/2
In de figuur hieronder worden de volgende drie functies weergegeven: y = ½ x, y = -½ x en y = 1/(1+x2)
Gegeven is de volgende integraal: ∫01 1/(1+x2) dx = π/4
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van A+B in de grafiek?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

De oppervlakte tussen de curve y = 1/(1+x2) en de x-as is tweemaal:
1/(1+x2) dx = π/4
Dus π/2
Daarvan moeten we de twee driehoeken aftrekken, met elk oppervlakte ½ . 1 / 2 = ¼
Dus voor de twee driehoeken samen ½
Dus de gevraagde oppervlakte is π/2 - ½

Vraag: Juli 2012

Er zijn 10 kandidaten voor de vorming van een comité, drie daarvan zijn artsen. Het comité bestaat uit exact 5 personen waarvan minstens één arts.
Hoeveel verschillende comités kunnen gevormd worden die aan deze voorwaarden voldoen?
<A> 27720
<B> 9072
<C> 231
<D> 252
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

Het totaal aantal combinaties van 5 personen gekozen uit tien is 10!/(5!.5!) = 10.9.8.7.6/(5.4.3.2.1) = 252
Het aantal combinaties zonder dokter: 7!/(5!.2!) = 7.6/2 = 21
Dus het aantal combinaties dat aan de voorwaarden voldoet is:
252 – 21 = 231

Vraag: Juli 2012

Een student moet het gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen. Hij doet dit echter niet op de gebruikelijke manier. Hij bepaalt eerste het deelgemiddelde m’ van x en y, vervolgens neemt hij het gemiddelde m” van het deelgemiddelde m’ en z.
Gegeven is dat x < y < z .
Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m, het berekende gemiddelde m” en het deelgemiddelde m’?
<A> m’ is altijd groter dan m”
<B> m is altijd kleiner dan m’
<C> m” is altijd gelijk aan m
<D> m” is altijd groter dan m
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: D

m = (x+y+z)/3
m’ = (x+y)/2
m” = ((x+y)/2 + z)/2 = x/4 + y/4 + z/2
Als we m en m” vergelijken, zien we dat in het aandeel van z in de berekening groter is dan van de twee anderen en aangezien z de grootste waarde is, zal m” altijd groter zijn dan m.