1102

Per hoofdstuk

Edities

Test

Examenvragen - Wiskunde - Juli 1997

Vraag: Juli 1997

Het bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Deze waarde uitgedrukt in delen van 1 (0,45) wordt de hematocriet genoemd. Een mm3 (1ml) bloed bevat 5.106 rode bloedcellen. De voornaamste functie van de rode bloedcellen is het transport van O2 en CO2 tussen long en weefsel, waarvoor hemoglobine dient (ongeveer 15 g hemoglobine per 100 ml bloed).
Laten we aannemen dat de levensduur van de rode bloedcellen 120 dagen bedraagt of met andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen eenmaal opnieuw wordt aangemaakt.
Hoeveel bedraagt het (gemiddelde) volume van één rode bloedcel?
<A> 90×10-9 L
 90×10-12 L
<C> 90×10-15 L
<D> kan hieruit niet afgeleid worden

Antwoord: C

Eén mL = 10-6 L dus 1L bloed bevat 106 . 5.106 rode bloedcellen = 5.1012 rode bloedcellen
Dit komt overeen met 0,45 L rode bloedcellen
Dus het volume van 5.1012 rode bloedcellens is 0,45 L
Dus het volume van één rode bloedcel is 0,45 L/(5.1012)
= 0,09.10-12 = 90.10-15 L

Vraag: Juli 1997

Het bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Deze waarde uitgedrukt in delen van 1 (0,45) wordt de hematocriet genoemd. Een mm3 (1ml) bloed bevat 5.106 rode bloedcellen. De voornaamste functie van de rode bloedcellen is het transport van O2 en CO2 tussen long en weefsel, waarvoor hemoglobine dient (ongeveer 15 g hemoglobine per 100 ml bloed).
Laten we aannemen dat de levensduur van de rode bloedcellen 120 dagen bedraagt of met andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen eenmaal opnieuw wordt aangemaakt.
Hoeveel rode bloedcellen maakt het lichaam van een man per seconde ongeveer aan?
<A> 2,4 × 106
 2,4 × 105
<C> 2,4 × 104
<D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist.

Antwoord: A

Eén liter bloed bevat 106. 5.106 = 5.1012 rode bloedcellen
Dus 5 liter bevat 25.1012 rode bloedcellen
Deze worden vervangen in 120 dagen
Dit is gelijk aan 120 . 24 . 3600 s
Dus per seconde worden 25.1012 / (120 . 24 . 3600 ) rode bloedcellen aangemaakt
Vereenvoudigen: 25.109 / (12. 24 . 36) = 2,5.1010 / / (12. 24 . 36)
Nu is 12.24.36 in de grootte-orde 10.000 (104) dus moet het antwoord in de grootte-orde 2,5.106 zijn

Vraag: Juli 1997

Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en stof B omgekeerd evenredig en positief zijn. Als de concentraties van stof A met p% toeneemt, met hoeveel % zal de concentratie van stof B dan afnemen?
<A> p
 p/(1+p)
<C> 100p/(100+p)
<D> p/(100+p)

Antwoord: C

A.B = k
En dus A1B1 = A2B2
Dus (A + p/100. A). (B - q/100. B) = A.B (q in procenten)
A.(1 + p/100). B.(1 - q/100) = AB
(1 + p/100) (1 - q/100) = 1
1 + p/100 – q/100 – pq/10000 = 1
p/100 – q(1/100 + p/10000) = 0
q = (p/100) / (1/100 + p/10000) q = p / (1 + p/100)
q = 100p / (100 + p) %

Vraag: Juli 1997

Als de volgende zoutoplossingen 1 en 2 (NaCl in water) gemengd worden, welke van de mengsels A, B, C of D heeft dan een NaCl-concentratie die groter is dan 9 g/l?
<A> oplossing 1: 0.5 liter met 10 g/l NaCl
oplossing 2: 4,5 liter met 8 g/l NaCl
 oplossing 1: 2 liter met 15 g/l NaCl
oplossing 2: 3 liter met 5 g/l NaCl
<C> oplossing 1: 3 liter met 15 g/l NaCl
oplossing 2: 2 liter met 5 g/l NaCl
<D> oplossing 1: 4.5 liter met 10 g/l NaCl
oplossing 2: 0,5 liter met 0 g/l NaCl

Antwoord: C

A: (0,5 . 10 + 4,5 . 8) / 5 = (5 + 36) / 5 = 41/5 = 8,2 g/L
B: (2 . 15 + 3 . 5) / 5 = 45 / 5 = 9 g/L
C: (3 . 15 + 2 . 5) / 5 = 55 / 5 = 11 g/L

Vraag: Juli 1997

<A> 0,125.sin(0,4πt / 3)
 0,125.sin(1,2πt)
<C> 2.sin (0,4πt / 3)
<D> 2.sin(1,2πt)
Een volwassene ademt gemiddeld twaalf keren per minuut. De luchtstroomsnelheid (in liter per seconde) wordt bij het inademen positief en bij het uitademen negatief gerekend. De luchtstroomsnelheid kan benaderd worden met de getoonde sinusoïde.
Bij hardlopen wordt de periode van de ademhalingscyclus gedeeld door 3 en de luchtstroomsnelheid wordt 4 keer zo groot.
Welke van de volgende antwoorden is de beste benadering van de sinusoïde bij hardlopen?
Luchtstroomsnelheid (l/s)

Antwoord: D

De amplitude in de figuur is 0,5, dus de amplitude A wordt dan 2,0 l/s
2 periodes in 10 s, dus T = 5s. De periode wordt bij hardlopen /3, dus T is dan 5/3 s
Dan wordt de vergelijking y = A.sin(2π/T . t) = 2. sin(2π/(5/3) . t)
y = = 2. sin (6π/5 . t) = 2. sin (1,2 π . t)

Vraag: Juli 1997

Wat is de waarde van sin(Bgcos(−√3/2)), waarbij Bgcos de inverse functie is van de cosinusfunctie is?
<A> -1/2
 1/2
<C> −√3/2
<D> √3/2

Antwoord: B

Dus cos x = - √3/2
De Bgcos functie is gedefinieerd tussen 0° en 180°
cos x = - √3/2 geldt voor de hoek 150°
De sinus van deze hoek is 1/2

Vraag: Juli 1997

In 1995 voorziet het ministerie van sociale zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in België de komende 15 jaren zal verdubbelen van 200 000 tot 400 000.
Hiervoor zullen meer hulpverleners opgeleid moeten worden. In een voorstudie stelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen op: een lineaire groei in model I en een exponentiële groei in model II, in functie van het aantal jaren t na 1995.
Welke van de volgende beweringen is fout?
<A> Voor t = 22,5 jaar voorspelt model I, 500 000 bejaarden met psychische
problemen.
 Voor t = 22,5 jaar voorspelt model II, √2 .400 000 bejaarden met psychische
problemen.
<C> Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden zijn met psychische
problemen dan volgens model I.
<D> Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden zijn met psychische
problemen dan volgens model I.

Antwoord: D

Antwoord A: Lineaire groei betekent dat er in eenzelfde tijdspanne evenveel patiënten bijkomen: op 15 jaar komen er 200000 bij, dus op 22,5 jaar komen er 3/2 . 200000 bij = 300000 bij. Klopt.
Exponentiële groei N = N0.2t/T, waarbij T de periode van verdubbeling is, deze bedraagt 15 jaar.
Antwoord B: dus na 22,5 j is dan N = N0.23/2 = 200.000.2.21/2 = 400.000 . √2. Klopt dus ook.
Antwoord C: in 2010 (na 15 jaar) zijn ze gelijk, maar de exponentiële curve stijgt sneller daarna dan de lineaire curve, dus C is juist
200000
400000
Antwoord D is dus fout volgens dezelfde redenering (t = 10 j: exp. lager)

Vraag: Juli 1997

Wat is de straal van de cirkel met als vergelijking:
4x2 + 4y2 - 16x + 20y – 283 = 0?
<A> √283
 81
<C> 9
<D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist

Antwoord: C

Eerst delen we alles door 4: x2+y2-4x+5y-283/4=0
Met de methode van het kwadraat afsplitsen:
x2 - 4x + y2 + 5y = 283/4
x2 - 4x + 4 + y2 + 5y + (5/2)2 = 283/4 + 4 + (5/2)2
(x – 5)2 + (y + 5/2)2 = 283/4 + 16/4 + 25/4 = 324/4 = 81 = 92
Dus de straal is 9

Vraag: Juli 1997

De functie y(x) = (2x2 – 3x + 4) / (x – 1)
<A> Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot
 Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot
<C> Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot
<D> Heeft rechte y = 2x – 1 als schuine asymptoot

Antwoord: D

Er is hier een verticale asymptoot als x – 1 = 0, dus x = 1 is een verticale asymptoot
Graad teller > graad noemer, dus geen horizontale asymptoot
Schuine asymptoot: doe de euclidische deling:
2x2 – 3x + 4
x – 1
2x – 1
-2x2 + 2x
-x + 4
+x - 1
y = 2x - 1 is dus de schuine asymptoot

Vraag: Juli 1997

Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; wat is de maximale inhoud van deze doos in cm3?
<A> 14000
 16000
<C> 18000
<D> 20000
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

De inhoud van de doos is V = (80 – 2x)(50 - 2x).x
= 4000x – 100x2 -160x2 + 4x3
De afgeleide V’(x) = 4000 – 200x – 320 x + 12x2
= 12x2 – 520 x + 4000
Deze is nul als: 3x2 – 130x + 1000 = 0
Discriminant: D = √(1302 – 4.1000.3) = √(16900 – 12000) = √(4900) = 70 dus x = (130 + 70)/6 of x = (130 – 70)/6, dus x = 100/3 of x = 10. Maar x kan niet 33,3 zijn, want dan is 50-2x < 0. Dus onderzoeken we of x = 10 een maximum is:
Neem x = 9: V’(x) wordt positief, dus V(x) stijgt, x = 20: V’(x) negatief, dus x = 10 is een maximum en V(x) is dan (80 – 2x)(50 - 2x).x = 60.30.10 = 18000 cm3
80 – 2x
50 – 2x

Vraag: Juli 1997

Welke buigpunten heeft de functie f(x) = x3 / (x2 – 1)?
<A> Ze heeft geen buigpunt(en)
 Ze vertoont een buigpunt voor x = 0
<C> Ze vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1
<D> Ze vertoont twee buigpunten, voor x = - √3 en voor x = √3

Antwoord: B

f’(x) D[x3 / (x2 – 1)] = D[x3 . 1/(x2 – 1)]
3x2 . 1/(x2 – 1) + x3 . -1/(x2 – 1)2 . 2x
= 3x2 /(x2 – 1) - 2 x4 /(x2 – 1)2 = [3x2 (x2 – 1) – 2x4] / (x2 – 1)2 = (x4 – 3x2) / (x2 – 1)2
En dan nog eens afleiden:
f”(x) = D[(x4 – 3x2) . 1/(x2 – 1)2]
= (4x3 – 6x)/(x2 – 1)2 + (x4 – 3x2) . (-2).1/(x2 – 1)3 . 2x
= (4x3 – 6x)/(x2 – 1)2 + -4x . (x4 – 3x2) /(x2 – 1)3
= [(4x3 – 6x)(x2 – 1) – 4x. (x4 – 3x2) ]/(x2 – 1)3
= [4x5 – 6x3 – 4x3 + 6x – 4x5 + 12x3] /(x2 – 1)3
= [ 2x3 + 6x] /(x2 – 1)3 = 2x(x2 + 3) /(x2 – 1)3. Dit wordt enkel 0 bij x = 0.
Neem x bvb. -0,1: f” is dan positief, neem x = +0,1: f” is dan negatief. Dus er is één buigpunt bij x = 0

Vraag: Juli 1997

<A> -1
 0
<C> 1
<D> 2
Bereken de waarde van:
∫-∞0 ex dx - ∫0e-1 1/(1+x) dx

Antwoord: B

Deze is gelijk aan:
[ex] -∞0 – ∫0e-1 1/(1+x) dx
Voor de tweede integraal stellen we u = x + 1 dus du = dx
∫1e 1/(u) d(u) met grenzen aangepast!
Dus de integraal wordt:
[ex] -∞0 – [ln u] 1e = 1 - e-∞ - (ln(e) – ln(1)) = 1 – 0 – 1 + 0 = 0

Vraag: Juli 1997

1/36 . x6.(6 ln(x) – 1) + C
is het resultaat van welke integraal?
<A> ∫ x5.ex dx
 ∫ x5.ln(x) dx
<C> ∫ x7.ex dx
<D> ∫ (ln(x))5 dx

Antwoord: B

Dan moeten we de uitdrukking afleiden:
D(1/36 . x6.(6 ln(x) – 1) + C)
= 1/36 [6x5 . (6 ln(x) – 1) + x6 . 6 . 1/x ]
= 1/36 [36x5 ln(x) - 6x5 + 6x5]
= x5 ln(x)

Vraag: Juli 1997

<A> 16
 16/3
<C> 32/3
<D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = 4 - x en de y-as?

Antwoord: C

Eerst moeten we y uitdrukken in functie van x:
y = + √(4 – x) en y = - √(4 – x)
y = √(4-x)
y = -√(4-x)
We kunnen tweemaal de oppervlakte nemen tussen de curve en de x-as, rechts van de y-as:
2. ∫04 √(4-x)dx
= 2. ∫40 √(4-x) d(4-x) (u=4-x)
= 2 . [(4-x)3/2/(3/2)] 40
= 2 . [43/2/(3/2) - 0]
= 4/3. 43/2 = 4/3. 8 = 32/3

Vraag: Juli 1997

Een student moet het gemiddelde m van drie getallen x, y en z berekenen. Hiertoe berekent hij eerst het gemiddelde van x en y en nadien het gemiddelde van dit resultaat met z.
Als x<y<z, dan is het eindresultaat dat de student bekomt:
<A> soms kleiner dan m en soms gelijk aan m
 altijd kleiner dan m
<C> altijd groter dan m
<D> soms groter dan m en soms gelijk aan m

Antwoord: C

Het gebruikelijke gemiddelde m = (x+y+z)/3 = (4x + 4y + 4z)/12
Het gemiddelde berekend door de student:
((x+y)/2 + z)/2 = x/4 + y/4 + 2z/4 = (x + y + 2z)/4 = (3x + 3y + 6z)/12
z is het grootste getal en heeft het groter aandeel (6z) in het eindresultaat van de student, dus dit is altijd groter dan m.

Sirtaqi