Examenvragen - Wiskunde - Augustus 2016

Vraag: Augustus 2016

Voor hoeveel verschillende waarden van x in het interval [0; 2p] is
2 cos2 x
een geheel getal?
<A> 7
<B> 8
<C> 9
<D> 10

Antwoord: C

2 cos2x, dan denken we onmiddellijk aan cos 2x = 2cos2x – 1
Dus dan moet cos 2x een geheel getal zijn.
Dit kan enkel als de cos 2x 0, 1 of -1 is, dus als 2x = n. π/2, ofwel x = n. π/4
Dat zijn dan 0, π/4, 2π/4, 3π/4, π, 5π/4, 6π/4, 7π/4, 8π/4 (=2π dus stop hier)
Dat is dus 9

Vraag: Augustus 2016

<A> niet in P en niet in Q
<B> in Q, maar niet in P
<C> in P, maar niet in Q.
<D> in P en in Q.
Beschouw de punten P(3√2, 6√2) en Q (3√4, 3√2).
De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) = x2 - 3√2 en g(x) = √x snijden elkaar

Antwoord: B

Ligt P op f? f(3√2) = (3√2)2 - 3√2 = 3√2 (3√2 - 1)
Dit getal is groter dan 3√2 (want 3√2 - 1 > 0) en dus zeker niet 6√2, dat kleiner is dan 3√2 dus NEE
Ligt P op g? g(3√2) = √ (3√2) = (21/3)1/2 = 21/6 = 6√2 JA
Ligt Q op f? f(3√4) = (3√4)2 - 3√2 = 3√16 - 3√2 = 2. 3√2 - 3√2 = 3√2 JA
Ligt Q op g? g(3√4) = √ (3√4) = (41/3)1/2 = (41/2)1/3 = 21/3 = 3√2 JA
Dus Q ligt zowel op f als g en is er dus een snijpunt van, maar P niet, dat ligt enkel op g

Vraag: Augustus 2016

Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = (x2 – 1) / (x2 – 4), en de acht open intervallen:
]-4, -3[ ]-3, -2[ ]-2, -1[ ]-1, 0[ ]0,1[ ]1,2[ ]2,3[ ]3,4[
In hoeveel van deze intervallen is de functie f negatief?
<A> 4
<B> 3
<C> 2
<D> 1

Antwoord: C

f(x) = (x2 – 1) / (x2 – 4) = (x+1)(x-1) / [(x+2)(x-2)]
Het tekenschema:
F(x) is dus negatief in de intervallen ]-2,-1[ en ]1,2[

Vraag: Augustus 2016

Als f (x) = e4x-3, wat is dan f (1 – ln (1/x))?
<A> e - x4
<B> (ex)4
<C> e x4
<D> e + 1/x4

Antwoord: C

We werken eerst de 4x – 3 uit: 4.(1 – ln 1/x) – 3 = 1 – 4. ln(1/x)
= 1 + 4 ln(x) = 1 + ln(x4)
En dan e(1 + ln x4) = e1. eln x4 = e.x4 (x4 stelt hier x4 voor)

Vraag: Augustus 2016

In deze figuur staat de grafiek van een van de functies f waarvan het voorschrift hieronder gegeven is.
Wat is dat voorschrift?
<A> f (x) = ex + sin x
<B> f (x) = ex - sin x
<C> f (x) = ex - sin 2x
<D> f (x) = ex + sin 2x

Antwoord: C

Een volledige cyclus van de sinusfunctie gaat over een Dx van ongeveer p, zoals we in de figuur aan de linkerkant kunnen zien.
Aangezien een volledige cyclus van een sinusfunctie over 2p gaat, moet de afgebeelde functie dus met sin 2x zijn, dus antwoorden C en D zijn mogelijk
Het punt voor x = 0 ligt op 1, dit klopt voor zowel e0 - sin 2.0 en e0 + sin 2.0
Maar net rechts van dit punt zou, als sin 2x opgeteld zou worden, de functie moeten stijgen, want sin 2x stijgt daar en we zien dat de functie juist daalt, dus moeten we sin 2x aftrekken
Dus antwoord C

Vraag: Augustus 2016

In een orthonormaal assenstelsel is een cirkel met middelpunt (0; 0) en straal 1 gegeven.
Vanuit het punt A(-2; 0) tekenen we de raaklijn r aan de cirkel. Het punt B is het snijpunt van de (positieve) x-as met de raaklijn s aan de cirkel loodrecht op r .
Wat is de x-coördinaat van B?
<A> 5√3/6
<B> 4√3/5
<C> 3√3/4
<D> 2√3/3

Antwoord: D

We zien dat driehoek ORB gelijkvormig is aan driehoek APO (drie zijden evenwijdig)
Dus is |AP | / | AO | = 1 / | OB | (1)
Nu is |AP|2 + 12 = 22
Dus |AP| = √3
Vervangen in (1) geeft, samen met |AO| = 2:
√3 / 2 = 1 / |OB| |OB| = 2/ √3
|OB| = 2√3 / 3

Vraag: Augustus 2016

Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1; 0) gaat en in het punt A(1; 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x.
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel?
<A> 32π
<B> 25π
<C> 20π
<D> 16π

Antwoord: C

De straal van de cirkel staat loodrecht op de raaklijn, de rechte s door A en O heeft dus als m = -1/2
Dus de vergelijking van de rechte s door O en A: y – 2 = -1/2 . (x – 1) y -2 = -1/2.x + ½ y = -1/2.x + 5/2 (*)
Wat weten we nog? De afstand van O tot A moet gelijk zijn aan de afstand van O tot B (de straal)
y = 2x
A(1,2)
B(-1, 0)
Stel de coördinaten van O (x0, y0). Dan is:
(1 – x0)2 + (2 – y0)2 = (-1 – x0)2 + (0 – y0)2
1 – 2x0 + x02 + 4 – 4y0 + y02 = 1 + 2x0 + x02 + y02
4 x0 + 4 y0 = 4 y0 = 1 - x0 (**)
Nu geldt ook (*) dus 1 – x0 = -1/2 . x0 + 5/2 1/2 . x0 = -3/2 x0 = -3
Samen met (**) geeft dit y0 = 1 –(-3) = 4. Dus O(-3,4)
Wat is de straal? Dit is de afstand OA. |OA| = √ [ (1 – (-3))2 + (2 – 4)2 ] = √ (16 + 4) = √20 = de straal r. De oppervlakte A = π.r2 = π. (√20)2 = 20 π

Vraag: Augustus 2016

Gegeven is de functie f met voorschrift f (x) = (sin x) / (1 - cos2 x).
Bepaal het voorschrift van de afgeleide functie f’.
<A> f’(x) = -cosx / (1 – cos2x)
<B> f’(x) = -cosx / (1 – sin2x)
<C> f’(x) = 1/ (2 sinx)
<D> f’(x) = cosx / (sin2x)

Antwoord: A

f (x) = (sin x) / (1 - cos2 x)
f (x) = (sin x) / (sin2 x) f(x) = 1 / sin (x) = sin-1 (x)
f’(x) = -1.(sin-2(x)).D(sin(x)) = -1/sin2(x) . cos(x)
f’(x) = -cos x / sin2(x) = -cos x / (1-cos2(x))

Vraag: Augustus 2016

Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f (x) = (x - 1)e-x. Als de punten A(a; f (a)) en B(b; f (b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f , waaraan is a + b dan gelijk?
<A> 2
<B> 1
<C> -1
<D> -2

Antwoord: B

f (x) = (x - 1)e-x
f’(x) = D(x - 1) . e-x + (x-1) . D(e-x) = e-x + (x-1) . (-1) . e-x = e-x (1 –x + 1)
f’(x) = e-x (2 – x)
Dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk punt van de curve
De raaklijnen die door de oorsprong gaan (0,0):
y – 0 = f’(x) (x -0) = e-x (2 – x) . x
Dus y = e-x (2 – x).x (*)
Nu is gegeven f (x) = y = (x - 1)e-x (**)
Combineren van (*) en (**) geeft voor de raakpunten:
e-x (2 – x).x = (x - 1)e-x (2-x).x = (x – 1) 2x – x2 = x – 1 x2 - x – 1 = 0
D = 12 – 4.(-1).1 = 5 x = (1 +√5)/2 of x = (1 -√5)/2
Dit zijn dus de waarden a en b, optellen geeft: a + b = 1

Vraag: Augustus 2016

G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x; y) waarvoor geldt dat
0 <= x <= π/2 en 1 – cos x <= y <= cos x
Bepaal de oppervlakte van G.
<A> 1 - π/3
<B> 2 - π/2
<C> √2/2 – π/2
<D> √3 - π/3

Antwoord: D

Het gegeven stelt dus dat y boven de groene curve ligt en onder de rode, dus we zoeken de oppervlakte van A
Waar kruisen de curven?
cos x = 1 – cos x 2 cos x = 1 cos x = ½
Voor dit gebied is x dan = π/3
y = cos x
y = 1 - cos x
Dus nu eerst de oppervlakte onder de rode curve tot x = p/3 :
∫0π/3 cos x dx = sin x | 0π/3 = √3 /2 – 0 = √3/2
Dus de oppervlakte onder de groene curve tot x = π/3 :
∫0π/3 (1 - cos x) dx = ( x - sin x) | 0π/3 = π/3 - √3 /2 – 0 = π/3 - √3 /2
Aftrekken van de tweede van de eerste oppervlakte geeft √3/2 - π/3 + √3 /2 = √3 - π/3

Vraag: Augustus 2016

PSA (Prostaat-Specifiek Antigeen) is een proteïne dat geproduceerd wordt door cellen in de prostaatklier. Door het opmeten van de PSA-waarde in het bloed kan men bij mannen het risico op prostaatkanker bepalen. In een medisch labo gebruikt men drie toestellen om PSA-waarden te bepalen:
met toestel T1 is er 1 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 60 % van de analyses gebruikt;
met toestel T2 is er 2 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 30 % van de analyses gebruikt;
met toestel T3 is er 4 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 10 % van de analyses gebruikt.
Als men vaststelt dat de PSA-analyse van een bepaald bloedstaal onjuist is, hoe groot is dan de kans dat men hierbij toestel T1 of toestel T2 heeft gebruikt?
<A> 75 %
<B> 72 %
<C> 68 %
<D> 65 %

Antwoord: A

Op 1000 analyses zijn er 60% T1 en 1% fout, dus 1000. 0,60 * 0,01 = 6 foute analyses door T1
Op 1000 analyses zijn er 30% T2 en 2% fout, dus 1000. 0,30 * 0,02 = 6 foute analyses door T2
Op 1000 analyses zijn er 10% T3 en 4% fout, dus 1000. 0,10 * 0,04 = 4 foute analyses door T3
In totaal zijn dat 16 foute analyses per 1000 analyses
Van die 16 foute analyses komen er 12 van T1 of T2, dus 12/16 = 75%

Vraag: Augustus 2016

Twee jongens en zes meisjes nemen in een willekeurige volgorde plaats op een van de acht stoelen die naast elkaar op een rij staan.
Hoe groot is de kans dat er precies twee meisjes tussen de twee jongens zitten?
<A> 1/7
<B> 1/14
<C> 5/28
<D> 5/56

Antwoord: C

De jongens en meisjes kunnen op 8! manieren gaan zitten
Nu zijn dit succesvolle schikkingen:
MVVMVVVV
VMVVMVVV
VVMVVMVV
VVVMVVMV
VVVVMVVM
Dat zijn dus 5 schikkingen, maar de jongens kunnen onderling nog verwisselen dus . 2! en de meisjes ook: dat is nog eens x 6!
Dus de goede schikkingen zijn 5.2!.6!
Dus de kans op de juiste schikkingen is 5.2!.6!/8! = 10/8.7 = 10/56 = 5/28

Vraag: Augustus 2016

In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs deelnamen.
Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond speelden?
<A> 155
<B> 151
<C> 147
<D> 146

Antwoord: D

Aardebeke: 5 * 2 * 145 = 1450
Bevergem: 3 * 3 * 165 = 1485
Cleve: 7 * 1 * 153 = 1071
Denterberg: 10 * 1 * 125 = 1250
Totaal voor 36 spelletjes: 5256
Dus per spelletje: 5256/36 = 146

Vraag: Augustus 2016

In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee scholen, kortweg met A en B aangeduid.
Wat is het gemiddeld resultaat van de meisjes van beide scholen samen?
<A> 85
<B> 84
<C> 83
<D> 82

Antwoord: B

Voor A: 71.JA + 76.MA = 74 . (JA + MA)
We delen alles door JA: 71 + 76(MA /JA) = 74 + 74(MA /JA) MA /JA = 3/2
Voor B: 81.JB + 90.MB = 84 . (JB + MB)
We delen alles door JB: 81 + 90(MB /JB) = 84 + 84(MA /JA) MB /JB = 1/2
Voor jongens: 71.JA + 81.JB = 79 . (JA + JB)
We delen alles door JA: 71 + 81(JB /JA) = 79 + 79(JB /JA) JB /JA = 4
Nu is MA /JA = 3/2 en MB /JB = ½ (MA /JA) . (JB /MB) = (3/2) . 2
( MA / MB ) . (JB / JA) = 3 MA / MB = ¾ dus MB = 4.MA/3
Dus nu geldt voor de meisjes:
MA.76 + MB. 90 = (MA + Mb) . X MA.76 + (4.MA/3). 90 = (7/3 MA) . X
MA.196 = 7/3 MA.X 196 = 7/3.X X = 3.196/7 = 3. 28 = 84