Examenvragen - Wiskunde - Augustus 2015

Vraag: Augustus 2015

Als el gelijk is aan 4, waaraan is e(3/2) l dan gelijk?
<A> e6
<B> e8
<C> 6
<D> 8

Antwoord: D

43/2 = (√4)3 = 23 = 8

Vraag: Augustus 2015

De parameter a ∈ R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergelijking
4x2 - 15x + 4a3 = 0
gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing.
In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a?
<A> [0; 5]
<B> [-1; 4]
<C> [-2; 3]
<D> [-3; 2]

Antwoord: D

We lossen eerst de vierkantsvergelijking op:
x1 = [15 + √(225-64a3)] / 8 en x2 = [15 - √(225-64a3)] / 8
Dit gaat complex worden, we proberen de som en productformule (deel eerst alles door 4):
S = 15/4 en P = a3.
Dat ziet er al beter uit. We weten nu: x2 = x12, dus x1+x12 = 15/4 en x1. x12 = a3
x1. x12 = a3 geeft x1 = a en dit in de eerste vergelijking invullen geeft a + a2 = 15/4 ofwel 4a2 + 4a -15 = 0
D = 16 – 4(4).(-15) = 256
Dus a1 = (-4 + √256) /8 = 12/8 = 3/2 = 1,5
en a2 = (-4 - √256) /8 = -20/8 = -5/2 = -2,5
Deze oplossingen liggen in het interval horend bij antwoord D

Vraag: Augustus 2015

Voor welke waarde(n) van parameter a ∈ R is het getoonde stelsel?
<A> als en slechts als a ≠ 0
<B> als en slechts als a ∉ {0,2} <C> als en slechts als a ≠ 2
<D> voor alle a ∈ R

Antwoord: A

De eerste vergelijking met a-1 vermenigvuldigen en de tweede ervan aftrekken (dan valt x weg):
(Opgelet: check voor a = 1, substitueer in de vergelijkingen en vind x = 3 en y = 3, dus wel geldig)
(a-1)2y – y = a(4-a)(a-1) – (a+2)
(a2 -2a+1-1)y = (a2-2a)y = a(4-a)(a-1) – (a+2)
y = [a(4-a)(a-1) – (a+2)]/ [a(a-2)]
Nu is dit ongeldig als a = 0 of a = 2
Substitueer a = 0: geeft x-y = 0 en –x+y = 2 : ongeldig dus
Substitueer a = 2: geeft x+y = 4 en x+y= 4: geldig (opl. R2)

Vraag: Augustus 2015

Een bolvormig lichaam drijft in een vloeistof. Het onderste punt van de bol bevindt zich 8 cm onder het vloeistofoppervlak. Aan het oppervlak wordt de vloeistof weggedrukt over een cirkelvormig gebied met diameter 24 cm.
Hoe groot is de straal van de bol?
<A> 6√6 cm
<B> 8√3 cm
<C> 13 cm
<D> 12 cm

Antwoord: C

We zien een rechthoekige driehoek, en dus kunnen we Pythagoras toepassen:
r2 = (r-8)2 + 122
r2 = r2-16r + 64 + 144
0 = -16r + 208
16r = 208
r = 208/16 = 13

Vraag: Augustus 2015

Beschouw een ruit met zijde a.
Als de lengte van de kortste diagonaal gelijk is aan a, wat is dan de lengte van de langste diagonaal?
<A> √2 a
<B> 2√2 a
<C> √3 a
<D> 3/2 a

Antwoord: C

De grote diagonaal noemen we D, de kleine diagonaal d
Volgens Pythagoras:
(d/2)2 + (D/2) 2 = a2
a2/4 + D2/4 = a2 (want d = a volgens het gegeven)
a2 + D2 = 4 a2
D2 = 3 a2
D = √3.a

Vraag: Augustus 2015

Als sin α = 3/5, hoeveel bedraagt dan cos4 α - sin4 α?
<A> 1/25
<B> 7/25
<C> 1
<D> -1

Antwoord: B

cos4 α - sin4 α = (cos2 α – sin2 α). (cos2 α + sin2 α)
= (cos2 α – sin2 α). 1
= 1 - sin2 α – sin2 α
= 1 – 2 sin2 α
= 1 – 2 . (3/5)2 = 1 – 2 . 9/25 = 1 – 18/25 = 7/25

Vraag: Augustus 2015

Als f(x) = (x – 1)/(x + 1) en g(x) = -1/x2, dan is f (g(x)) gelijk aan

Antwoord: C

(-1/x2 – 1) / (-1/x2 + 1)
Stel A = -1/x2 – 1 = (-1 – x2) / x2
Stel B = -1/x2 + 1 = (-1 + x2) / x2
En dan A/B = (-1 – x2) / (-1 + x2) = - (x2 + 1) / (x2 – 1)

Vraag: Augustus 2015

Hoeveel bedraagt het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x2 en x = y2?
<A> 4
<B> 3
<C> 2
<D> 1

Antwoord: C

x = y2 y = √x of y = - √x (en aangezien x = y2 is x altijd >= 0)
Dus eerst lossen we het stelsel y = x2 en y = √x op:
√x = x2 x = x4 x4 – x = 0 x3 (x-1) = 0 x = 0 of x = 1
Dan lossen we het stelsel y = x2 en y = -√x op:
-√x = x2 x = x4 x4 – x = 0 x3 (x-1) = 0 x = 0 of x = 1
Er zijn dus twee snijpunten: (0,0) en (1,1)

Vraag: Augustus 2015

De functie f is bepaald door het voorschrift f (x) = x2e-x .
Over welk interval is deze functie monotoon dalend?
<A> ]1; 2[
<B> ] -1; 1[
<C> ]0; 1[
<D> ]2; 3[

Antwoord: D

f(x) = x2e-x
f(x) = (2x).e-x + x2 . (-e-x) = (2x – x2) (e-x) = x(2 – x) . e-x
De nulpunten zijn x = 0 en x = 2 (e-x = 1/ex is altijd positief)
f’(x)
min(0)
max(4/e2)
Het interval uit de antwoorden dat volledig in het dalend gedeelte ligt is ]2; 3[

Vraag: Augustus 2015

Voor welke waarde van x geldt dat
<A> 6
<B> 5
<C> 3
<D> 2

Antwoord: D

∫-1x (3t – 1)2 dt
stel u = 3t – 1 dan du = 3 dt
= 1/3 ∫-33x (u)2 du = 1/3 (u3/3) | -33x = 1/3 [27x3/3 - 27/3] = 3[x3 - 1]
Wanneer is 3[x3 - 1] = 21 ? x3 - 1 = 7 x3 = 8 x = 2

Vraag: Augustus 2015

Bepaal n waarvoor
<A> 14
<B> 10
<C> 8
<D> 7

Antwoord: C

∫01 x dx = x2/2 | 01 = 1/2 – 0/2 = 1/2
∫12 (x-1) dx : stel u = x-1 dan du = dx en de integraal wordt: ∫01 u du
We zien dat dit dezelfde integraal is dan de vorige, dus = 1/2
Zo is dat voor al die integralen
½ + 2. ½ + 3 . ½ + 4. ½ + ...
Wanneer is dit 18? Wel, als 1 + 2 + 3 + 4 + …n = 36. Tel op en je komt tot n = 8
Opmerking: men kan dit ook algebraïsch uitwerken zonder die termen handmatig op te tellen. De n-de term van een rekenkundige rij is ½ + (n-1).1/2
De som van n termen van een rekenkundige rij is Sn = n.(u1 + un) / 2
Dus n.(½ + [½ + (n-1).1/2]) / 2 = 18 n( ½ + ½ + 1/2n -1/2) = 36
½ n + ½ n2 = 36 n2 + n – 72 = 0, los deze vierkantsvergelijking op en vindt een positieve wortel = 8, dus n = 8.

Vraag: Augustus 2015

Gegeven is de functie f bepaald door het voorschrift f (x) = -x3 + 3x2.
Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van f en de raaklijn aan de grafiek van f in het lokaal maximum van f .
<A> 25/4
<B> 6
<C> 8
<D>27/4

Antwoord: D

f (x) = -x3 + 3x2. f’(x) = -3x2 + 6x = 3x(2- x). Dit is 0 voor x = 0 en x = 2
Voor x = -1 is f’(x) < 0, voor x = 1 is f’(x) > 0, dus x = 0 is een minimum
Voor x = 1 is f’(x) > 0, voor x = 3 is f’(x) < 0 dus x = 2 is een maximum
De raaklijn in dit maximum (2, -8 + 12) = (2,4) is dan y = 4
Waar snijdt deze de rechte f? In alle geval in punt (2,4) maar ook waar -x3 + 3x2 = 4 -x3 + 3x2 – 4 = 0
In alle geval dus zal x = 2 een oplossing zijn. Pas Hornerschema toe en vindt:
-(x-2)(x2 – x – 2) = 0 -(x-2)(x – 2)(x + 1) = 0
Dus x = -1 is het andere snijpunt en dus de ondergrens.
De oppervlakte tussen y = 4 en de x-as tussen x = -1 en x = 2 is 4.3 = 12
De oppervlakte tussen f(x) en de x-as tussen x = -1 en 2 is ∫-12 (-x3 + 3x2) dx = (-x4/4 + 3x3/3) | -12 = (-16/4 + 24/3) – (-1/4 – 3/3) = -15/4 + 9 = 21/4
De oppervlakte is dan 12 – 21/4 = 48/4 – 21/4 = 27/4

Vraag: Augustus 2015

Een hotel telt 10 verdiepingen (van niveau 1 tot en met niveau 10). Op het gelijkvloers (niveau 0) nemen 5 personen de lift naar een hogere verdieping.
De kans dat elk van deze personen op een verschillende verdieping uitstapt, ligt tussen
<A> 33,5 % en 35 %.
<B> 31,5 % en 33 %.
<C> 29,5 % en 31 %.
<D> 27,5 % en 29 %.

Antwoord: C

Elke persoon kan op 1 van de 10 verdiepingen uitstappen, dus elke persoon heeft 10 mogelijkheden
Dus in totaal zijn er 10.10.10.10.10 = 105 mogelijkheden
Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij de personen op een verschillende verdieping uitstappen?
Het aantal mogelijkheden is hier 10.9.8.7.6 = 30240
De kans is dus 30240/105 = 3,024.10-1 = 30,24.10-2 = 30,24 %

Vraag: Augustus 2015

Een fabrikant produceert vier verschillende types duikflessen.
Men onderzoekt per type duikfles hoeveel minuten een duiker de duikfles onder identieke omstandigheden kan gebruiken. In de onderstaande grafiek zijn de resultaten van dit onderzoek weergegeven waarbij men in elk van de vier types een normale verdeling vaststelt. Welk van de volgende uitspraken is dan niet juist?
<A> De kans dat een duiker een duikfles niet langer dan 40 minuten kan gebruiken, is het
grootst bij een duikfles van type 4.
<B> De kans dat een duiker een duikfles na 80 minuten nog steeds kan gebruiken, is het
grootst bij een duikfles van type 1.
<C> Een duikfles van type 1 kan gemiddeld even lang gebruikt worden als een duikfles van type 2.
<D> Een duiker kan een duikfles van type 3 gemiddeld het langst gebruiken.

Antwoord: B

Antwoord A: de oppervlakte links van 40 min is inderdaad het grootst bij Type 4
Antwoord B: We zien duidelijk dat de oppervlakte onder de curve voor Type 1 rechts van 80 minuten NIET het grootste is, dus deze stelling is FOUT
Antwoord C: De gemiddelden van Type 1 en Type 2 liggen inderdaad gelijk
Antwoord D: Het gemiddelde van Type 3 is inderdaad het grootst