Examenvragen - Wiskunde - Augustus 2010

Vraag: Augustus 2010

<A> 3
<B> 1
<C> -1
<D> -3
Als x3 + px2 − qx − 4 deelbaar is door x2 −x + 2, hoeveel is dan p−q?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Als we de deling uitvoeren en er geen rest is, moet de deler x-2 zijn (enkel dan kloppen de eerste en de laatste term)
Dus (x2 −x + 2)(x-2) = x3 + px2 − qx − 4
x3 – 2x2 – x2 + 2x + 2x – 4 = x3 + px2 − qx − 4
– 3x2 + 4x = px2 − qx p = -3 en q = -4
=> p-q = -3 + 4 = 1

Vraag: Augustus 2010

Gegeven een cirkel en een driehoek zoals in de figuur getoond. M is het middelpunt van de cirkel.
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de cirkel?
<A> π
<B> 2/3 π
<C> 3/2 π
<D> 5/2 π
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

De hoek in D is 180° - 45° - 15° = 120°
De sinusregel geeft: |BC| / sin 120° = 2 / sin 45°
De sinus van 120° is gelijk aan die van 60° = √3/2
|BC| / √3/2 = 2 / √2/2
|BC| = 2 . √3/2 / (√2/2) = 2√3 / √2 = √6
Nu is |BC| = 2r en dus is r = √6/2
De oppervlakte van de cirkel is: πr2 = π.(√6/2)2 = 6p/4 = 3p/2

Vraag: Augustus 2010

Gegeven is de functie f(x) = 5-x
Hoeveel bedraagt de waarde van de volgende uitdrukking?
<A> 10/4
<B> -1/4
<C> 5/4
<D> 4/125
f(x+1).(f(x+1)-f(x+2))
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: D

5-(x+1).(5-(x+1)-5-(x+2))
5-2x-2-5-2x-3
= 5-2- 5-3 = 1/25 - 1/125 = 5/125 – 1/125 = 4/125

Vraag: Augustus 2010

Een virus wordt verspreid. Het aantal infecties in functie van de tijd in dagen wordt gegeven als: y(t) = at2 + bt + a
Na 2 dagen zijn er 3 geïnfecteerde mensen, na 3 dagen zijn er 7 zieken.
Hoeveel dagen zal het duren vooraleer 31 mensen geïnfecteerd zijn?
<A> 4
<B> 5
<C> 6
<D> 7
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

Dus a.22 + 2b + a = 3 en a.32 + 3b + a = 7
Ofwel 5a + 2b = 3 en 10a + 3b =7
Vergelijking 2 – 2 keer vergelijking 1: -b = 1 b = -1
En dus is 5a -2 = 3 a = 1
Dan is at2 + bt + a = t2 - t + 1 = 31 t2 – t – 30 = 0
Oplossen vierkantsvergelijking: D = 1 + 120 = 121
Dus t = (1 + 11)/2 = 6 of t = (1 - 11)/2 = -5
Dus de eerste is de enig geldige oplossing: t = 6 dagen.

Vraag: Augustus 2010

Gegeven de vergelijking 4 sin2(2x) = 1.
Hoeveel reële oplossingen kan je vinden tussen 0 en π?
<A> 2
<B> 3
<C> 4
<D> 6
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

sin2(2x) = 1/4
Dus sin(2x) = 1/2 of sin(2x) = -1/2
Als de oplossingen in x tussen 0° en 180° moeten liggen, dan moeten de oplossingen voor 2x tussen 0° en 360° liggen!
Voor 2x liggen er 4 oplossingen tussen 0° en 360°: 30°, 150°, 210° en 330°.
Dus antwoord C

Vraag: Augustus 2010

De rationele functie y(x)=(x2−4x)/(x+2)2
<A> heeft een relatief minimum tussen twee nulpunten
<B> heeft een relatief maximum tussen twee nulpunten
<C> heeft een relatief minimum buiten twee nulpunten
<D> heeft een relatief maximum buiten twee nulpunten
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

y(x)=(x2−4x).(x+2)-2
Nulpunten: x = 0 en x = 4
y’(x)=(2x-4) .(x+2)-2 + (x2−4x).(-2). (x+2)-3
y’(x)= [(2x-4) .(x+2) + (x2−4x).(-2)] . (x+2)-3
y’(x)= [2x2 + 4x – 4x – 8 – 2x2 + 8x] . (x+2)-3
y’(x) = [8x - 8] . (x+2)-3
Dit is 0 als x = 1
Voor waarde x = 0 is y’(x) negatief, voor x = 2 positief, dus x = 1 is een minimum en ligt inderdaad tussen twee nulpunten.
Antwoord A.

Vraag: Augustus 2010

We beschouwen twee uitdrukkingen:
Uitdrukking 1: ∫ ln x dx = x ln x + x + C
Uitdrukking 2: ∫ sin2(2x) dx = x/2 + cos(4x) / 8 + C
Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?
<A> Uitdrukkingen 1 en 2 zijn juist.
<B> Uitdrukkingen 1 en 2 zijn fout.
<C> Uitdrukking 1 is juist en uitdrukking 2 is fout.
<D> Uitdrukking 1 is fout en uitdrukking 2 is juist.
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

D(x ln x + x + C) = 1.ln x + x. 1/x + 1 = ln x + 2
Dus uitdrukking 1 is fout
D(x/2 + cos(4x) / 8 + C) = ½ - sin(4x). 4 / 8 = ½ - sin(4x)/2
Dus ook uitdrukking 2 is fout
Antwoord B.

Vraag: Augustus 2010

<A> 5/2 π
<B> 5/2 π - 2
<C> 3/2 π + 2
<D> 3/2 π
Gegeven is de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten. Wat is de oppervlakte van het gekleurde deel?
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: B

Onder de x-as is de oppervlakte die van een driehoek: π.1/2
Nu boven de x-as:
De oppervlakte van de rechthoek gaande van x = 0 tot x = 2π en y = 0 tot y = 1 is 2π.1 = 2π
Daarvan moeten we het gedeelte onder de cosinusfunctie tussen 0 en 2π aftrekken. Dat is 2 maal de oppervlakte onder de cosinusfunctie tussen x = 0 en π/2
∫0π/2 cos x dx = sin x | 0π/2 = 1 - 0 = 1
Dit tweemaal is 2 en dus de oppervlakte boven de x-as is 2π – 2
We tellen de oppervlakte onder de x-as erbij:
2π – 2 + π/2 = 5/2 π -2

Vraag: Augustus 2010

Er zijn 51 leerlingen, verdeeld over 2 klassen. In klas A zitten twee keer zo veel leerlingen als in klas B. In elke klas zitten 7 leerlingen met blauwe ogen, de anderen hebben bruine ogen.
Als er iemand met bruine ogen bij de directeur geroepen wordt, hoe groot is dan de kans dat deze leerling uit klas A komt?
<A> 17/37
<B> 17/34
<C> 27/37
<D> 37/51
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: C

A = 2B en A + B = 51, dan is 2B + B = 51, dus B = 17 en A = 34
Dus 17 leerlingen in klas B, 34 in klas A.
Klas A: 7 blauw, 27 bruin
Klas B: 7 blauw, 10 bruin
Dus 37 leerlingen met bruine ogen waarvan 27 uit klas A
Dus kans dat leerling met bruine ogen uit klas A komt is 27/37

Vraag: Augustus 2010

In een wachtzaal van de huisarts zitten 7 mensen, 4 vrouwen en 3 mannen. Ze weten niet wie aan de beurt is.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen ze bij de dokter binnen als je weet dat er geen 2 personen van hetzelfde geslacht na elkaar binnen mogen?
<A> 144
<B> 70
<C> 35
<D> 30
Door een deelnemer gereconstrueerde vraag

Antwoord: A

Dan moeten ze gaan volgens V M V M V
Voor de vrouwen zijn de mogelijkheden 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Voor de mannen zijn de mogelijkheden: 3! = 3.2.1 = 6
In totaal zijn er dus 6 . 24 = 144 manieren.