Valversnelling - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Valversnelling

Valversnelling

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Vrije val

Als we een voorwerp op een afstand boven de aardoppervlakte houden en loslaten, zal het object versnellen.
Deze versnelling, de valversnelling g, bedraagt ongeveer 9,81 m/s2 (er zijn kleine verschillen naargelang de locatie op de aarde, dit is een gemiddelde waarde).
g = 9,81 m/s2
Onze formule wordt dan (a = g) :
Opmerking: we gaan er nog steeds van uit dat de wrijving met de lucht te verwaarlozen valt (zie hoofdstuk krachten II).
Dh = v0. Dt + 1/2 g. Dt2

Opmerking

Om de opgaven eenvoudig zonder rekenmachine te kunnen oplossen wordt g afgerond tot 10 m/s2.

Afgeleide formule

Met welke snelheid raakt een voorwerp de grond als we het uit rust loslaten vanop hoogte Dh?
Gezien dan v0 = 0 wordt dit Dh = g/2 . Dt2.
Dus Dt2 = 2Dh/g (1).
Nu is g = Dv / Dt , en gezien v0 = 0, is g = vt / Dt, dus Dt = vt / g (2).
Uit (1) en (2) volgt dan 2Dh/g = vt2 / g2, ofwel:
vt2 = 2 g Dh
Terzijde: we richten hier dus als positieve richting van de y-as naar beneden, zodat Dh positief wordt, de snelheid positief en de versnelling ook positief is.

Voorbeeld

Een voorwerp valt vanuit stilstand naar beneden vanop 20 m boven de grond. Hoe lang duurt het voor het de grond raakt?
Dh = 1/2 g. Dt2 Dt2 = 2 Dh / g
Dt2 = 2 . 20 / 10 = 4,0 s2
Dt = 2,0 s
Maar stel dat het een beginsnelheid had van 15 m/s? (bvb. we werpen het naar beneden) Hoe lang duurt het dan tot de grond?
Dan zitten we met een kwadratische vergelijking: Dh = v0. Dt + 1/2 g. Dt2 waaruit we dan Dt kunnen afleiden.
Alternatief is om eerst de snelheid bij aankomst beneden te berekenen:
vt2 – v02 = 2 g Dh
vt2 = 2 g Dh + v02 = 2 . 10 . 20 + 152 = 625 vt = 25 m/s
En dan: vt - v0 = g . Dt Dt = (vt –v0)/ g = 10 / 10 = 1,0 s

Worp omhoog

Als we een voorwerp vanaf het aardoppervlak met een bepaalde snelheid recht omhoog afschieten, dan mogen we in de formule Ds = v0. Dt + 1/2 a. Dt2, a dus vervangen door –g, het voorwerp vertraagt.
Stel dat we een voorwerp met een bepaalde beginsnelheid omhoog gooien, hoe hoog geraakt het voorwerp?
vt2-v02 = 2(-g)Dh waarbij vt = 0, dus -v02 = -2gDh, oftewel:
Dh = v0. Dt - 1/2 g. Dt2
v02 = 2gDh Dh =
(De positieve richting van de y-as nemen we nu naar boven.)

Voorbeeld

Stel dat we een voorwerp omhoog gooien vanop 2,0 m hoogte met een beginsnelheid van 10 m/s. Hoe hoog geraakt het voorwerp?
Dh = v02/2g = 102/(2.10)= 5,0 m, dus het geraakt 7,0 m hoog.
We gooien een voorwerp omhoog vanop 2,0 m met een beginsnelheid van 10 m/s. Na hoeveel tijd raakt het voorwerp de grond?
We kunnen dan eerst de hoogte berekenen dat het voorwerp geraakt (7,0 m) en de tijd die dat duurt om zo hoog te geraken. (Dv = -v0 = -g.Dt1 geeft Dt1.) Vervolgens berekenen we dan hoe lang het duurt om van 7,097 m naar beneden te vallen: Dh = g/2 . Dt22
De som van Dt1 en Dt2 geeft dan de totale tijd.
Ook kan men de algemene formule gebruiken:
Dh = v0. Dt - 1/2 g. Dt2, waarbij Dh = -2,0 m, v0 = 10 m/s en we dus via een vierkantsvergelijking Dt kunnen oplossen.

Opmerking

Let wel op dat, wanneer je de algemene formule gebruikt, je aandacht geeft aan de zin van de y-as (h-as): deze is dan stijgend met de hoogte, waardoor bij een val Dh = ht – h0 negatief is!
De algemene formule is onontbeerlijk als we bvb. willen weten bij een worp omhoog: waar zit het voorwerp na 3,0 seconden? We weten dan op voorhand niet altijd of het voorwerp nog aan het stijgen dan wel aan het dalen is en kunnen het vraagstuk dan niet in naar boven-naar beneden splitsen.
Dus stel dat we een voorwerp omhoog gooien vanop 20 m hoogte met een beginsnelheid van 10 m/s. Waar zit het voorwerp na 3,0 seconden?
We kunnen dan stellen (algemene formule): Dh = v0. Dt - 1/2 g. Dt2
Dh = 10 . 3,0 – ½ . 10 . (3,0)2 = 30 – 45 = -15 m
Dus het voorwerp zit dan op 20 – 15 = 5 m hoogte boven de grond.

Horizontale worp

Beschouwen we nu de horizontale worp.
Hierbij wordt een voorwerp van op een hoogte met een bepaalde snelheid v afgeschoten in horizontale richting. Het voorwerp vliegt dan vooruit, maar krijgt ook een versnelling g naar onder. Daardoor valt het op een bepaalde afstand op het aardoppervlak.
De snelheid in een punt op de baan raakt aan de baan en kan ontbonden worden in een horizontale component en in een verticale.
De hele tijd blijft vx = v0
vy is g .Dt, dus een val

Horizontale worp

Men kan zich dan afvragen: na hoeveel tijd Dt raakt het voorwerp de aarde?
Wel, de vergelijking van de verticale snelheidscomponent is onafhankelijk van de horizontale en een gewone vrije val:
vy raken grond = g. Dt (1).
(De horizontale snelheidscomponent vx blijft gelijk aan v0.)
Als we vy raken grond kennen, kunnen we dus ook Dt berekenen.
Dus, met welke verticale snelheid raakt de bal de grond?
Dit kunnen we met dezelfde formule afleiden als bij de vrije val:
vy raken grond2 = 2 g Dh.
Uit Dh berekenen we dus vy is en uit (1) berekenen we dan Dt.

Ter info

Ter info: als we de bewegingsvergelijking van het voorwerp opstellen, krijgen we y = g.x2 / (2 v02), hetgeen een parabolische baan voorstelt.

Afschieten van een projectiel

Met afschieten van een projectiel bedoelen we: van op het aardoppervlak een voorwerp afschieten onder een bepaalde hoek met de horizontale.
Ook hier in feite twee bewegingen: een horizontale beweging, waarbij de snelheid steeds dezelfde blijft (vx = v0x) , en een verticale, die kan gezien worden als eerst een worp omhoog (a = -g) en daarna een vrije val (a = g).
De beweging is volgens een parabool

Afschieten van een projectiel

Een vraag die men bijvoorbeeld kan stellen: wat is de maximale hoogte van de baan?
Wel, we ontbinden v0 in v0x (v0 . cos q0) en v0y (v0 . sin q0).
Dan kunnen we voor de y-richting gewoon onze formule voor de worp omhoog toepassen:
v0y2 = 2 g Dh
Aangezien we v0y kennen (v0 . sin q0) kunnen we Dh hieruit afleiden.

Afschieten van een projectiel

Volgende vraag: na hoeveel tijd bereikt het projectiel de top?
Dvy = 0 - v0y = -g Dttop v0y = g Dttop
v0y = g Dttop Dttop = v0y / g
Het bereikt dus opnieuw de grond na Dtgrond = 2 . v0y / g
vx bij het punt waar het projectiel de grond raakt is gelijk aan v0x
vy bij het punt waar het projectiel de grond raakt is gelijk aan –v0y

Afschieten van een projectiel

Hoe ver geraakt het projectiel (de dracht)?
Aangezien:
Dx = vx . Dtgrond = v0. cosq0 . Dtgrond
Dtgrond = 2 . v0y / g = 2 . (v0 . sin q0) / g
Komen we tot (en rekening houdend met 2 cos q0 . sin q0 = sin 2q0 ):
sin (2q0)
Hieruit volgt dat de maximale afstand bereikt wordt als 2q0 gelijk is aan 90° (de sinus is dan 1), dus als q0 gelijk is aan 45°.
Een verspringster moet dus afzetten onder een hoek van 45° wil zij zo ver mogelijk geraken

Opmerking

De componenten van de snelheid gedurende het traject van het projectiel zijn dus ten alle tijde:
vx = v0x
vy = v0y – g . Dt

Schuine worp

Bij een schuine worp gaat men op dezelfde manier te werk.
De x-component van de snelheid blijft altijd gelijk en is gelijk aan de x-component van de beginsnelheid.
Bij een schuine worp omhoog is de y-component eerst een worp omhoog, tot aan de top en dan een val omlaag vanop de top.
Bij een schuine worp omlaag is de y-component een worp omlaag met beginsnelheid de y-component van de beginsnelheid.