Krachten II - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Krachten II

Krachten II

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Centripetale kracht

Wordt ook middelpuntzoekende kracht genoemd.
We stelden al dat een voorwerp waarop geen kracht werkt in rust is of in een rechtlijnige beweging met constante snelheid.
Wanneer dus een voorwerp met constante snelheid rond een ander cirkelt, moet er een kracht zijn die dit voorwerp in zijn baan houdt, dit is de centripetale of middelpuntzoekende kracht.
Denk aan de hamerslingeraar: hij draait een voorwerp rond zijn hoofd en oefent daarvoor een kracht uit. Valt de kracht weg (hij laat het touw los), dan vliegt het voorwerp rechtdoor.

Eenparig cirkelvormige beweging

De snelheid tijdens de cirkelbeweging is steeds langs de raaklijn aan de cirkel. De kracht is naar binnen gericht volgens de straal van de cirkel. En dus ook de versnelling.
Een eenparig cirkelvormige beweging is een cirkelvormige beweging met een constante hoeksnelheid: in eenzelfde tijdseenheid wordt steeds eenzelfde hoek afgelegd.
waarbij T de tijdsduur van één omloop is (in seconden), en f de frequentie, gelijk aan 1/T en uitgedrukt in s-1 of hertz (Hz).
Hoeksnelheid w =
(in rad/s)
= 2pf
s = r Dq
Dq wordt uitgedrukt in radialen (volledige cirkel = 2p rad)

Eenparig cirkelvormige beweging

De snelheid wordt gegeven door v = ds/dt = r.d(Dq/Dt), dus:
De snelheid is loodrecht op r
De versnelling wordt gegeven door (a = dv/dt):
De versnelling is volgens r naar binnen gericht
En dus de grootte van de centripetale kracht is:
v = r . w
a = w2. r
F = m . a = m . w2. r =
m . v2
En ook a = a / r waarbij de a hoekversnelling is (dw/dt)

Parallelen met lineaire beweging

Er zijn gelijkenissen tussen de uitdrukkingen van lineaire en die van de cirkelvormige beweging:
Lineaire beweging
Cirkelvormige beweging
v = v0 + a Dt
w = w0 + a Dt
Ds = v0 Dt + a/2 Dt2
Dq = w0 Dt + a/2 Dt2
v2 – v02 = 2 a Ds
w2 – w02 = 2 a Dq

Opmerking

Als we een voorwerp aan een koord ronddraaien, wat levert dan de centripetale kracht?
Wel, op het voorwerp is het de spankracht van het touw die de centripetale kracht levert:
Spankracht touw = middelpuntzoekende kracht

Universele gravitatiekracht

De zwaartekracht op aarde is een speciaal geval van de universele gravitatiekracht: alle massa's trekken elkaar aan en de zwaartekracht op aarde is een gevolg van het aantrekken van voorwerpen door de aarde.
Twee massa's m1 en m2 trekken elkaar aan met de volgende kracht:
r is de afstand tussen de massazwaartepunten.
F = G .
m1 . m2
G = gravitatieconstante
= 6,67 .10-11 Nm2/kg2
F1 en F2 zijn even groot

Opmerking

Dus deze kracht werkt op beide massa's.
Dus de aarde oefent een bepaalde kracht uit op ons, en wij oefenen eenzelfde kracht uit op de aarde!
Het feit dat wij vallen naar de aarde en niet omgekeerd, is omdat deze kracht veel meer invloed heeft op onze lage massa dan op de grote massa van de aarde (a = F/m).
Opmerking: eigenlijk “valt” de aarde dus ook een heel klein beetje naar ons!

Meer dan twee massa’s

Hoe berekenen we de krachten als drie lichamen betrokken zijn?
We berekenen dan elk der krachten door de resultante te nemen van de afzonderlijke krachten die de andere massa's teweegbrengen, dus op massa 2 gaan we eerst F1 door massa 1 berekenen, dan F3 door massa 3 berekenen. Daarna nemen we de resultante van de twee, dit is de uiteindelijke kracht op massa 2.
Zo kunnen we dit uitbreiden tot een onbeperkt aantal lichamen.

Valversnelling en gravitatiekracht

Met de formule van de gravitatiekracht is het ook mogelijk de valversnelling aan het aardoppervlak te berekenen:
m . g = G . mA . m / rA2 waaruit volgt:
Hierbij is G de gravitatieconstante, mA de massa van de aarde (5,97.1024 kg) en rA de straal van de aarde ( gemiddeld 6.371 km).
Opmerking: de straal van de aarde is niet overal op aarde gelijk, dus zijn er kleine verschillen in de waarde van de valversnelling naargelang de plaats op aarde.
Aan de polen is de straal kleiner, dus g groter (rond 9,83 N/kg aan de polen, rond 9,78 N/kg aan de evenaar)
g = G .
9,81 m/s2

Valversnelling op de maan

Dus de valversnelling van ongeveer 9,81 m/s2 is specifiek voor onze planeet.
Op de maan bijvoorbeeld is de valversnelling 1,63 m/s2, dus de maan trekt minder hard aan voorwerpen en ze vallen dus trager.
Ook het gewicht (de zwaartekracht) is hierdoor ongeveer 6 keer lager.
Een weegschaal zal op de maan dus een 6x lager gewicht aangeven!
1,63 m/sec

Satellieten

Doordat de gravitatiekracht massa's aantrekt, is het dus mogelijk om een massa in een cirkelvormige baan rond een andere te houden.
Een object dat door de zwaartekracht in een baan rond een ander object blijft, noemt men een satelliet.
Zo zullen planeten in een baan rond de zon komen, de maan rond de aarde draaien (in feite blijkt de baan van planeten rond de zon eerder ellipsvormig dan cirkelvormig). Ook menselijk gemaakte satellieten worden in een baan rond de aarde gebracht.
Men kan een satelliet terug naar de aarde doen vallen door hem eenvoudigweg af te remmen: de resulterende snelheid is dan niet meer tangentieel aan de baan, maar iets meer naar de aarde gericht.

Satellieten

Bij een baan rond de aarde is de grootte van de gravitatiekracht op een satelliet met massa m in een baan rond de aarde F = G.mA.m/r2.
De grootte van de centripetaalkracht is mv2/r. Deze zijn gelijk zodanig dat: G.mA.m/r2 = mv2/r of dat (m valt weg) G.mA /r2 = v2/r.
Hieruit kunnen we de snelheid van een satelliet op een afstand r van het middelpunt van de aarde afleiden: v2 = G.mA/r.
Deze snelheid blijkt onafhankelijk van de massa van de satelliet, wel van de hoogte, dus op elke hoogte boven het aardoppervlak heerst een bepaalde snelheid.
Hoe verder van het aardoppervlak, hoe groter r en dus hoe lager de snelheid.
Merk op dat r hier de afstand van de satelliet tot het middelpunt van de aarde voorstelt, dus de straal van de aarde + de hoogte van de satelliet boven het aardoppervlak.

Gewichtloosheid in ISS

In het ruimtestation ISS zijn de bemanningsleden gewichtloos. Hoe komt dat?
Niet doordat het ruimtestation zo ver verwijderd is van de aarde: op die hoogte (ongeveer 400 km) is de zwaartekracht nog altijd 90% van deze op het aardoppervlak.
Maar zowel het ruimtestation en de bemanningsleden zijn door de centripetale kracht in feite constant in “vrije val”. Net als bij de lift die in vrije val is, zal ook hier gewichtloosheid optreden.
Image NASA

Wetten van Kepler

Het blijkt echter dat de banen van planeten niet cirkelvormig zijn, maar ellipsvormig.
Eerste wet van Kepler: planeten bewegen zich rond de zon volgens een ellips, waarbij de zon zich in één van de brandpunten bevindt.
Tweede wet van Kepler (wet der perken): de snelheid van de planeet verandert zodanig dat, als de tijd om van A naar B te gaan even groot is dan de tijd om van C naar D te gaan, de oppervlakte van de twee getoonde sectoren gelijk is, dus verder van de zon gaat ze trager.
Derde wet van Kepler: het kwadraat van de omlooptijd T is evenredig met de derde macht van de halve lange as r: T2/r3 = k.
De ellipsvorm en verhoudingen zijn niet op schaal. De ellips neigt meer naar de cirkelvorm dan getoond.

Bewijs

Voor een cirkelvormige baan kunnen we de derde wet van Kepler eenvoudig bewijzen:
Stel m de massa van de planeet en M de massa van de zon:
mv2/r = G.mM/r2
Hieruit volgt: v2r = GM
Nu is 2pr/T = v (afstand/tijd), dus (2pr/T)2 . r = GM
r3/T2 = GM / (4p2) T2/r3 = 4p2 /(GM) = dus een constante.

Wrijvingskracht

Als we met onze fiets niet meer trappen, dus geen kracht meer zetten, vallen we stil.
Hoe komt dit?
Doordat de lucht een wrijvingskracht uitoefent en ook de grond op onze banden een wrijvingskracht uitoefent.
Als wij geen kracht meer zetten, gaan deze wrijvingskrachten ons dus vertragen tot uiteindelijk stilstand.
Als Fw (wrijvingskracht) groter is dan F (voortstuwing), dan vallen we stil. Zijn beide gelijk, dan blijven we met constante snelheid fietsen.

Wrijvingskracht

De vergelijkingen voor luchtweerstand zijn nogal complex en we gaan hier verder niet op in.
We kunnen echter wel de grootte van de wrijvingskracht, nodig om een voorwerp in beweging te brengen ten opzichte van de ondergrond, berekenen:
Hierbij is FN de normaalkracht, m is de wrijvingsfactor, deze hangt af van de materialen.
Bijvoorbeeld staal op staal: 0,60, rubber op asfalt 0,70,... Hoe kleiner het getal, hoe minder wrijving.
Fw = m . FN

Wrijvingskracht

We gaan ervan uit dat deze wrijvingskracht bij benadering gelijk is aan de wrijvingskracht bij beweging.
Dan, als we een bepaalde massa vanuit stilstand een bepaalde versnelling willen geven, welke kracht moeten we dan uitoefenen?
Dan moet F = m.a + m.FN = m.a + m.Fz = m.a + m.m.g

Op een helling met wrijving

Ook hier een voorwerp op een helling, maar deze keer met wrijvingskracht.
Beschouw de volgende figuur:
Fw = m . FN = m . m . g . cos a
Dus de kracht op het blokje langs de helling naar beneden is:
F = m . g . sin a - m . m . g . cos a
Door F te delen door m krijgen we dan de versnelling a.
Fz = m . g
m.g.sin a
FN = m.g.cos a
m.g.cos a

Een fietser in een bocht

Als een fietser met een redelijke snelheid een bocht wil nemen, moet hij schuin gaan hangen.
Het is de zijwaartse wrijvingskracht die mogelijk maakt dat de fietser de bocht kan nemen (op ijs zou hij duidelijk op de grond vallen).
De zijwaartse wrijvingskracht levert de nodige middelpuntzoekende kracht om de bocht te kunnen nemen.
De krachten zijn als in nevenstaande figuur, de fietser draait naar de rechterkant van het blad.
FN + Fw
Opmerking: Fw is de zijdelingse wrijvingskracht, in tegenstelling tot de wrijvingskracht in de richting van de voorwaartse beweging.

Een fietser in een bocht

Fz = m.g = FN
Fw = m.FN
Nu is Fw ook de middelpuntzoekende kracht.
Hieruit volgt dat de bocht die nog net genomen kan worden:
m.m.g = m.vmax2/r
En dus vmax2 = m.g.r
Dus de maximale snelheid hangt niet af van de massa, wel van de straal van de bocht: een scherpe bocht (r is klein) kan maar met een lage snelheid genomen worden.
Voor de hoek a geldt:
tan a = FN / Fw = FN / m.FN = 1/ m

Een fietser in een bocht

Men kan zo’n bocht sneller nemen als het wegdek helt, zoals bijvoorbeeld op een wielerpiste.
Doordat het wegdek een hellingshoek a heeft, draagt de normaalkracht bij aan het leveren van de nodige middelpuntzoekende kracht.