Harmonische trillingen - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Harmonische trillingen

Harmonische trillingen

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Periodieke beweging

Als men een gewicht aan een veer in een rechte lijn naar boven en beneden laat schommelen, krijgt men periodieke beweging.
De tijd van één cyclus (bvb. van boven tot weer boven) noemt men de periode T, het aantal cyclussen per seconde de frequentie f = 1/T.
Het punt in het midden tussen de bovenste grens en de onderste grens noemt men de evenwichtsstand.

Harmonische trilling

Zo'n periodieke beweging in rechte lijn rond een evenwichtsstand noemt men een harmonische trilling.
De evenwichtsstand wordt met maximale snelheid bereikt, dan is er een vertraging, bij stilstand gaat het gewicht weer in de andere richting bewegen.
Als we de uitwijking uitzetten tegen de tijd, krijgen we een sinusfunctie:
q = wt
De uitwijking kan gezien worden als de y-uitwijking van een punt p dat met constante snelheid op een cirkel draait.

Bewegingsvergelijking

De bewegingsvergelijking is:
A is de amplitude (maximale uitwijking), F de beginfase (de “beginhoek van de draaibeweging”) en w = 2p/T de pulsatie.
Deze zuivere harmonische trilling, zonder wrijvingskracht, noemen we de vrije ongedempte harmonische trilling.
y = A . sin (wt + F)

Trillingsfrequentie van een veer

Als men een veer met veerconstante k en met een massa m eraan uitrekt en loslaat zal die met een bepaalde frequentie gaan trillen, we noemen dit de eigenfrequentie.
Men kan bewijzen dat bij een trillende veer geldt dat de "natuurlijke" of eigenfrequentie gegeven wordt door:
Of ook:
w0 = 2pf0 =
Dus de bewegingsvergelijking is:
y = A . sin (
x + F)

Snelheid en versnelling

Gezien v = dy/dt, is
v = A w cos (w t + F)
a = dv/dt = - A w 2 sin (w t + F).
De snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtsstand.
De snelheid is nul bij maximale uitwijking.
De versnelling is maximaal als de uitwijking maximaal is.
De versnelling is nul bij doorgang door de evenwichtsstand.

Energieomzetting

Kinetische energie in het systeem wordt gegeven door:
Ek = mv2/2 = ... = 1/2 kA2 cos2 (w t + F)
Bij doorgang van de evenwichtsstand is Ek maximaal.
Potentiële energie in het systeem wordt gegeven door:
Ep = k.DL2/2 = ... = 1/2 kA2 sin2 (w t + F)
Ep is maximaal bij maximale uitwijking.
En we zien dat de energie ten allen tijde E = Ek + Ep = 1/2 kA2.

Wiskundige slinger

Een slinger met matige uitwijking kan ook als een harmonische trilling beschouwd worden.
Hier is de uitwijking de positie op de boog waarop hij beweegt.
Hier geldt:
De periode (en dus ook de frequentie) is dus onafhankelijk van de massa die men eraan hangt.
mg cosq
mg sinq
Fz =mg
Fspan = mg cosq
Men kan een slinger gebruiken om door het meten van de periode van de slingerbeweging de grootte van de valversnelling g te bepalen.

Versnelling en snelheid bij de slinger

De resulterende kracht op de massa is de som van de zwaartekracht en de spankracht in het touw.
Dus de versnelling is ook in de richting van die kracht.
Aan de uiterste uitwijking is de versnelling tangentieel aan de beweging.
In de evenwichtstoestand (onderaan) is de versnelling recht naar boven gericht.
De snelheid is altijd tangentieel aan de beweging en het gevolg van de tangentiele component van de versnelling (at = g sin q).
Minimaal aan de uiteinden, maximaal in de evenwichtsstand.

Gedempte trilling

Bij luchtwrijving of een andere remmende kracht krijgt men een gedempte trilling: het geheel valt uiteindelijk stil.
De bewegingsfunctie ziet er dan zo uit:
y = A e(-b/2m)t
Als de dempende kracht evenredig is met de snelheid en in de vorm Fdemp = -bv, dan:
y = A e(-b/2m)t .cos(ωt+ θ)
b/2m noemt men de dempingscoëfficiënt γ.

Gedwongen trilling

Een schommel heeft een bepaalde eigenfrequentie.
Om de schommel hoger te laten gaan moet men met deze frequentie duwen: er treedt resonantie op: de uitwijking wordt steeds groter.
De amplitude wordt groter naargelang de frequentie van de drijvende kracht dichter bij de natuurlijke frequentie van het systeem ligt.
Dit verschijnsel heeft in het verleden aanleiding gegeven tot rampen, zoals het instorten van bruggen bij een bepaalde frequentie van windstoten, die tot resonantie in de brug aanleiding gaven.
Wikipedia/ Barney, Fair use, Source