Draaibeweging - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Draaibeweging

Draaibeweging

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Traagheidsmoment

Traagheidsmoment is een maat voor het verzet tegen een verandering in draaisnelheid van een lichaam met een zekere massa.
Als we een bepaalde massa hebben en we willen het traagheidsmoment kennen ten opzichte van een zekere draai-as, dan wordt het traagheidsmoment als volgt berekend:
Dit is telkens massa-onderdeel maal afstand tot de draai-as van dat massa-onderdeel in het kwadraat.
Afhankelijk van de vorm van het voorwerp krijgt men dan een verschillende berekening van het traagheidsmoment.

Enkele voorbeelden

Een puntmassa op afstand r van de draai-as: I = mr2
Een cilindermantel die om zijn (cilinder)as draait: I = mr2
Een massieve cilinder (staaf, schijf) die om zijn as draait: I = ½ mr2
Een massieve bol met een draaias door het middelpunt: I = 2/5 mr2

Parallele-as theorema

Het parallele-as theorema stelt dat het traagheidsmoment van een lichaam rond een as die parallel loopt door een as door het massacentrum gelijk is aan:
waarbij:
Icm: traagheidsmoment als as door massacentrum liep
m: totale massa van het lichaam
h: loodrechte afstand tussen de twee parallele assen
I = Icm + mh2

Kinetische draai-energie

De kinetisch energie van een object dat draait rond een as wordt gegeven door:
w: hoeksnelheid
w = 2p/T of 2pf

Rollen

Bij een rollend object (bvb. een fietswiel bij een rijdende fiets) draait het object niet alleen rond, maar het massacentrum beweegt ook. In dit geval moet de kinetische energie van de beweging van het massamiddelpunt nog bijgeteld worden, dus de totale kinetische energie is dan: Ek = ½ Iw2 + ½ mv2

Krachtmoment

t = Ft x r
Stel dat we een kracht uitoefenen op een voorwerp dat roteerbaar is om een bepaald rotatiepunt, zoals hieronder getoond. Laat Ft de component van deze kracht zijn loodrecht op de staaf r. Het is deze component die de staaf doet ronddraaien.
Deze component, vectorieel vermenigvuldigd met , de straalvector van het rotatiepunt naar het punt waar de kracht plaatsgrijpt ( r ) noemen we het krachtmoment.
Ft = F cos q
Dus krachtmoment is een vector en de richting vinden we met de rechterhand-regel:
In het voorbeeld wijst het krachtmoment in het blad.

Krachtmoment

De grootte van het krachtmoment:
t = ||Ft||.||r|| = ||F||.||r||. cos q
Wordt ook als “kracht maal krachtarm” aangeduid.
Als de kracht loodrecht op de krachtarm staat is, cos q = 1 en is t = F * r
Merk op dat krachtmoment gelijkaardig is aan kracht:
F = m.a
t = I.a, waarbij I het traagheidsmoment is en a de hoekversnelling.
Krachtmoment wordt ook als moment aangeduid.
Ft = F cos q

Example

De figuur toont een massa m die via een touw aan een draaibaar blok hangt met massa M en straal R; de massa valt en het blok draait tegen de klok in.
De massa valt over een hoogte h naar de grond. Met welke snelheid raakt het de grond?
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2
0 + mgh = ½ mv2 + ½ Iw2 + 0
mgh = ½ mv2 + ½ (1/2 MR2)(v/R)2
v = √[(4gh)/(2m + M)]
Wat is de hoekversnelling van het blok?
τ = FT * R = I α = ½ MR2 α, so α = 2T/(MR)
T – mg = -ma, met a = aR = (2T/MR)*R = 2T/m
Dus T – mg = -m.(2T/m), dus T = (M/M+2m)mg
En dan: a = 2g/(M+m) en α = a/R = 2g/(R(2m))
Fz = m.g

Arbeid door een krachtmoment

De geleverde arbeid door een constant krachtmoment om een roterend lichaam een hoekverplaatsing te geven wordt gegeven door
W = tθ
Het geleverde vermogen is dan:
Θ in radialen
P = tω

Rotatie-evenwicht

Net zoals een voorwerp in evenwicht is als de som van de krachten die erop inwerken nul is, is een object in rotatie-evenwicht als de som van de krachtmomenten die erop inwerken nul is.
Σt = 0
Natuurlijk moet hierbij rekening worden gehouden met de zin en richting van de krachtmomenten.

Hefboom

Een toepassing is een hefboom: als het moment dat in wijzerzin draait even groot is als het moment dat in tegenwijzerzin draait, is het systeem in evenwicht. Dit betekent voor onderstaande hefboom:
Men kan zo dus een zware last (links) met een lichte kracht (rechts) omhoog krijgen.
Men zegt ook “kracht maar krachtarm is last maal lastarm”.
Aangezien de krachtarm rechts groter is dan deze links, is in evenwicht de kracht rechts kleiner dan de kracht links (hier zijn de krachten de zwaartekracht).
Flinks
Frechts
rlinks
rrechts
tlinks = t rechts of Flinks x rlinks = Frechts x rrechts

Opmerking

Bij meer dan één kracht links of rechts, telt men alle momenten die de hefboom in wijzerzin draaien op en alle momenten die de hefboom in tegenwijzerzin draaien op, bvb:
F1 en F2 draaien de hefboom in tegenwijzerzin, F3 in wijzerzin, dus:
F1 . r1 + F2 . r2 = F3 . r3

Nog een opmerking

Als de hefboom zelf ook een significante massa heeft, tekent men nog een kracht bij in het massamiddelpunt van de hefboom met als grootte de zwaartekracht (massa x g).
Flinks
Frechts

Impulsmoment

Net zoals impuls een maat is voor de hoeveelheid lineaire beweging, is impulsmoment (of draai-impuls) een maat voor de hoeveelheid draaibeweging.
Als een voorwerp roteert rond een bepaalde draai-as, is het impulsmoment het product van de massa van het voorwerp, de snelheid en de afstand - haaks op de snelheid - tot aan de as.
Impulsmoment is ook in vectoren gedefinieerd: L = r x p
En ook geldt: impulsmoment = traagheidsmoment maal hoeksnelheid.
L = I . w
Opmerking: dL/dt = r x dp /dt = r x F = t

Wet van behoud van impulsmoment

De wet van behoud van impulsmoment zegt:
Het impulsmoment van een voorwerp, dat om een vaste as draait, is constant als er geen krachten op het voorwerp werken of slechts krachten met werklijnen die deze as snijden.
Dus I1w1 = I2w2
Bijvoorbeeld: een schaatser draait een pirouette en begint met uitgestrekte armen. Het traagheidsmoment is dan groter dan wanneer hij later de armen naast het lichaam brengt.
Doordat het impulsmoment behouden blijft is w2 = I1/I2 w1
En dus aangezien I1 groter was dan I2 , zal de schaatser automatisch sneller gaan draaien.

Demonstratie

Deze gyroscoop blijft rechtop door het behoud van impulsmoment: het verzet zich tegen vallen want dat zou een verandering in impulsmoment teweeg brengen.
Een andere interessante demonstratie is een verticaal draaiend fietswiel vasthouden terwijl men gezeten is op een draaibare stoel. Als het fietswiel horizontaal gedraaid wordt, begint de stoel de andere richting uit te draaien.