Arbeid en energie - Fysica - Theorie - Toelatingsexamens arts en tandarts

Arbeid en energie

Arbeid en energie

Voorwoord

Deze theoriehoofdstukken werden in eerste instantie samengesteld om in de theorie te voorzien die vereist is voor het afleggen van de toelatingsexamens arts en tandarts, maar heeft mettertijd een bredere bestemming gekregen, waardoor meer theorie voorzien is dan gekend moet zijn voor het toelatingsexamen. Toch is de theorie relatief beknopt gehouden: ze is vooral bedoeld voor wie het allemaal al eens gezien heeft en wil herhalen en daardoor zijn basis verstevigen. Ik denk dat ze daardoor nuttig kan zijn bij de voorbereiding van die toelatingsexamens, voor olympiades of voor een herhaling van leerstof voor het aanvangen van hogere studies. Maar als je besluit dit document te gebruiken voor welke test dan ook, check dan zelf welke leerstof gekend moet zijn op de officiële sites.
De auteur van dit document kan in geen enkel geval aansprakelijk gesteld worden voor eventuele gevolgen van of schade die kan ontstaan uit het gebruik van dit document.

Arbeid

Arbeid is een verplaatsing onder invloed van een kracht.
Brengen we bijvoorbeeld een massa van de grond naar een hoogte, dan oefenen we een kracht uit, er is een verplaatsing en dus is er arbeid verricht.
Is de verplaatsing in de zin en richting van de kracht en is de kracht constant dan geldt:
Arbeid W = F . Ds
Arbeid wordt uitgedrukt in J (joule, uitgesproken als "dzjoel" of "zjoel"), dit is gelijk aan N.m.
De W komt van “Work”

Maar

Maar stel nu dat kracht en verplaatsing niet in dezelfde richting zijn, bijvoorbeeld wanneer een persoon een rolkoffer voorttrekt:
Het is hier enkel de component van de kracht in de richting van de verplaatsing die telt:
W = FDs . Ds = F . Ds . cos a
F . cos a

Voorbeeld

Dus stel dat we de koffer 1,0 meter vooruit trekken met een kracht van 50 N onder een hoek a van 60° met de horizontale, dan is de verrichte arbeid 50 N . 1,0 m . 1/2 = 25 J.

Speciale gevallen

Als kracht en verplaatsing dezelfde zin en richting hebben:
Dan is cos q = 1 en kunnen we dus gewoon stellen W = F.Ds.
Hebben kracht en verplaatsing dezelfde richting, maar zijn ze tegengesteld van zin:
Dan wordt cos a = -1 en wordt de arbeid negatief, W = - F. Ds.
Dit is bijvoorbeeld zo voor de wrijvingskracht: we verplaatsen ons in een bepaalde richting en zin, maar de wrijvingskracht werkt tegen, dus in de andere zin en de wrijvingskracht verricht een negatieve arbeid.

Een gewicht omhoog verplaatsen

Nog een voorbeeld: we brengen een gewicht van 10,0 kg 1,00 m omhoog.
Wat is de verrichte arbeid?
Hier is W = F.Dx = Fz. Ds = m.g. Ds = 1,00 . 10 . 1,00 = 100 J.
Dus de arbeid om een massa m Dh hoger boven het aardoppervlak te brengen is:
W = m . g . Dh
Opmerking: eens het gewicht omhoog aan het gaan is, is het voldoende kracht te zetten gelijk aan de zwaartekracht (als we de wrijvingskracht verwaarlozen) .

Arbeid bij een niet-constante kracht

Arbeid is de oppervlakte onder de FL-L curve.
Bijvoorbeeld, bij de uitrekking van een veer zijn kracht en uitrekking evenredig (bvb. 2x grotere kracht geeft 2x grotere uitrekking) :
De oppervlakte is hier
FDL . DL / 2
= k . DL . DL /2 (Wet van Hooke)
= k . (DL)2 / 2.
k . DL2
Dus bij een uitrekking (of indrukking) van een veer:

Vermogen

Als we een bepaalde massa een bepaalde afstand hoger brengen, leveren we een bepaalde arbeid.
Dit is onafhankelijk van het tijdsinterval waarin we dit doen, dus of het traag of snel gebeurt.
Vermogen houdt hiermee wel rekening. Vermogen is geleverde arbeid per tijdseenheid. Dus hoe sneller we de arbeid leveren, hoe hoger het vermogen.
Vermogen wordt uitgedrukt in W (watt). Dit is gelijk aan J/s.
De P komt van “Power”
Soms wordt de eenheid paardenkracht gebruikt (pk) : 1 pk = 746 W
Vermogen P =

Voorbeeld

We brengen een gewicht van 10 kg 1,0 m omhoog in 2,0 s.
Wat is het vermogen?
Hier is P = W/Dt = F. Ds /Dt = Fz. Ds/Dt = m.g. Ds/Dt
= 10 kg . 9,81 m/s2 . 1,0 m / 2,0 s = 49 W.
Merk op dat we P = F . Ds /Dt ook kunnen schrijven als: P = F . v

Energie

Energie wordt gedefinieerd als het vermogen arbeid te verrichten.
Bijvoorbeeld, als wij een bepaald voorwerp hoger van het aardoppervlak brengen, verrichten we arbeid.
Het voorwerp zelf kan het vallen van de hoogte gebruiken om op zijn beurt arbeid te verrichten, gelijk aan de arbeid die wij er eerder op verrichtten.
We zeggen dat we het voorwerp door onze arbeid energie hebben gegeven, in dit geval in de vorm van potentiële energie.

Vormen van energie

Er zijn vele vormen van energie:
Elektrische energie
Mechanische energie: windenergie, spierkracht, …
Chemische energie
Warmte
Kernenergie
Deze energievormen kunnen in elkaar omgezet worden.
Bvb. een windturbine zet windenergie om in elektrische energie.

Gravitatie-potentiële energie

De (gravitatie-)potentiële energie van een voorwerp op een hoogte Dh boven het aardoppervlak wordt (dus) gegeven door:
Energie wordt ook in J (joule) uitgedrukt.
Dus een voorwerp met massa m op een hoogte Dh heeft m.g. Dh potentiële energie.
Ep = m . g . Dh

Kinetische energie

Een voorwerp in beweging kan arbeid verrichten (bvb. op een ander voorwerp botsen en dit verplaatsen).
Men noemt deze energie kinetische energie en ze wordt gegeven door:
m . v2
Hierbij is m de massa van het voorwerp en v de snelheid.

Wet van behoud van energie

De wet van behoud van energie zegt dat in een gesloten systeem de totale hoeveelheid energie gelijk blijft
Dus bijvoorbeeld:
Als een voorwerp zich op een hoogte Dh bevindt boven het aardoppervlak heeft het een Ep = m . g . Dh
Als we het loslaten, valt het naar de aarde en krijgt het kinetische energie.
Aan het aardoppervlak aangekomen zal het al zijn potentiële energie in kinetische energie omgezet hebben:
m . g . Dh = m . v2 / 2
We hebben dus een nieuwe manier gevonden om de snelheid bij aankomst op het oppervlak af te leiden:
v2 = 2 g Dh
Dit hadden we vroeger ook al gevonden.

Maar

Bij aankomst aan het aardoppervlak kan het voorwerp dan botsen en weer tot dezelfde hoogte geraken, dan wordt zijn kinetische energie weer omgezet in potentiële.
Maar waarom blijft het voorwerp dan niet eeuwig botsen?
Omdat er door wrijvingskracht opwarming van de lucht errond gebeurt en warmte is ook een vorm van energie.
En ook bij het contact met de aarde, de botsing, zal er warmte ontstaan.
Er gaat dus geen energie verloren, maar een deel van de energie wordt omgezet in warmte.

Elastische potentiële energie

Hoe zit het met de veer? Hoeveel bedraagt de energie van een veer bij een bepaalde uitrekking?
Wel, de arbeid die we verricht hebben om ze zo ver uit te rekken; zoals we berekend hebben is dit k.DL2/2.
Dit noemen we de elastische potentiële energie.
k . DL2

Gravitatie-potentiële energie revisited

Als we verder van het aardoppervlak zijn of twee willekeurige massa’s hebben, geldt Ep = m . g . Dh niet meer.
Algemeen gesteld is potentiële energie door de universele gravitatiekracht gegeven door:
Waarom negatief? Wel, als de afstand r oneindig is, is de energie 0. En aangezien we arbeid moeten verrichten om de massa’s van mekaar te brengen tot dat punt, moeten we dus van een negatieve energie beginnen.
Ep = - G .
m1 . m2

Rendement

De omzetting van de ene energievorm in de andere gebeurt niet altijd voor 100%.
Zo zal bijvoorbeeld een bal die van een hoogte valt en op de grond terechtkomt, niet weer even hoog kaatsen, omdat bij het contact met de grond en lucht wrijving optreedt en er hierbij warmte geproduceerd wordt en ook dit is een vorm van energie.
Dus zal de energie-inhoud van de bal verkleinen en zal hij minder hoog weerkaatsen.
Zo zal een lamp, waarin elektrische energie in lichtenergie omgezet wordt, warm worden, waardoor ook weer niet alle elektrische energie in lichtenergie wordt omgezet.

Rendement

Rendement wordt uitgedrukt als een getal van 0-1 of in procenten als men het getal met 100 vermenigvuldigt.
Dus, bijvoorbeeld, stel dat 1000 J lichtenergie door zonnepanelen omgezet wordt in 800 J elektrische energie, dan is het rendement van deze energieomzetting 0,8 of 80%.
20% zal "verloren" zijn als warmte, we bedoelen hier “niet nuttig”.
Een spaarlamp zal een hoger rendement hebben dan een gewone gloeilamp (een gloeilamp heeft maar zo’n 5% rendement!)
Een ander woord dat voor rendement gebruikt wordt is efficiëntie.
Rendement h =
nuttige energie
totale omgezette energie

Massacentrum

Het massacentrum (of massazwaartepunt) van een voorwerp is het gemiddelde locatie van zijn massa, alsof alle massa geconcentreerd zou zijn in dat punt.
Voorbeeld: stel dat we twee voorwerpen met massa m en M hebben waarvan de massacentra op een afstand R van elkaar liggen. Waar ligt het massacentrum?
Wel, als we de afstand van massa m tot het gemeenschappelijke massacentrum Rm noemen en de afstand van massa M tot het gemeenschappelijke massacentrum RM, dan geldt:
mRm = MRM, waarbij R = Rm + RM
Als we dus m, M en R kennen, kunnen we Rm en RM uit de vergelijkingen afleiden en zo de locatie van het massacentrum vaststellen.

Algemene oplossingswijze

Als we de objecten met massa mi in een xy-assenstelsel zetten, dan kunnen we de coördinaten van het massacentrum van eender welk aantal massa’s berekenen met:
xmc =
Σ mixi
Σ mi
ymc =
Σ miyi
Σ mi

Impuls

De impuls (of momentum) van een massa die met een bepaalde snelheid beweegt wordt gegeven door:
De eenheid is dus kg.m/s ofwel N.s
Als er een externe kracht op de massa werkt, verandert de impuls:
Dp = m . Dv
Als we beide leden delen door Dt krijgen we:
Dp/Dt = m . Dv/ Dt = m.a = F of F. Dt = Dp
F.Dt noemen we ook de krachtstoot.
p = mv

Wet van behoud van impuls

Als er geen externe kracht op een systeem werkt blijft de totale impuls constant
Een voorbeeld:
Hier beschouwen we de botsing als volkomen elastisch: de twee voorwerpen gaan hun eigen weg (zoals bijvoorbeeld twee biljartballen)
Er is geen energie verloren door vervorming, wrijving, geluid,…

Twee vergelijkingen

Er is niet alleen behoud van impuls, er is bij volkomen elastische botsingen ook de wet van behoud van kinetische energie (u1 en u2 zijn de snelheden voor de botsing):
Uitwerken geeft:

Niet-elastische botsingen

Bij de niet-elastische botsingen blijven de voorwerpen bij mekaar. Dit kunnen we ons bijvoorbeeld voorstellen als een schaatser die op een andere stilstaande schaatser botst: ze bewegen na de botsing samen in één richting
Ook hier blijft de impuls behouden:
Maar hier zal een deel van de kinetische energie omgezet worden in warmte door vervorming, wrijving tussen de twee massa’s,…

Voorbeeld

Een voorwerp van 5,0 kg met snelheid 20 m/s in oostelijke richting botst frontaal op een voorwerp van 10,0 kg met snelheid 5 m/s in westelijke richting. Beide voorwerpen blijven na de klap aan elkaar.
Veronderstel dat geen energie in vervorming verloren gaat.
In welke richting en met welke snelheid bewegen beide massa’s?
Wel: m1v1 + m2v2 = mtvt
Maar let op: we moeten een bepaalde zin als positief nemen voor de snelheid, bijvoorbeeld van west naar oost. Dan wordt de vergelijking:
(5,0).(20) + (10,0).(-5) = (5,0 + 10,0) vt
vt = 50/15 = 3,3 m/s. Positief, dus in oostelijke richting.

Opmerking

Behoud van impuls geldt ook voor de componenten van de beweging.
Dus de x-component van impuls blijft behouden, evenals de y-component (of elke andere richting).
Bijvoorbeeld: een stuk vuurwerk spat uiteen in drie delen zoals getekend:
v1 = 9 m/s
v2 = 9 m/s
v3 = ?
Hier geldt voor de x-componenten: mv1x + mv2x – ½ mv3 = 0
v1x = v2x = 9 . cos 45° = 9.√2/2
Dus 9.√2/2 + 9.√2/2 – ½ v3 = 0 v3 = 18√2 m/s

Restitutiecoëfficiënt

De restitutiecoëfficiënt is de verhouding van de finale en initiële relatieve snelheid tussen twee voorwerpen nadat ze gebotst zijn.
Deze varieert normaal gezien van 0 tot 1 waarbij 1 een volkomen elastische botsing voorstelt.
Bijvoorbeeld: een balt valt op de grond met een snelheid van 8 m/s en weerkaatst met een snelheid van 4 m/s. De restitutiecoëfficiënt is dan 4/8 = 0,5.